משפט קנטור-בנדיקסון הוא משפט מתמטי הקובע שכל קבוצה סגורה בישר הממשי היא איחוד זר של קבוצה מושלמת וקבוצה בת-מנייה.

המשפט התקבל במסגרת ניסיונותיו של גאורג קנטור להוכיח את השערת הרצף. מהמשפט נובע שכל קבוצה סגורה של ממשיים היא בת-מנייה או מעוצמת הרצף.

קבוצה ${\displaystyle P}$ היא קבוצה מושלמת אם היא הקבוצה הנגזרת של עצמה. בנוסח שקול, ${\displaystyle P}$ מושלמת אם ורק אם היא סגורה ואין לה נקודות מבודדות.

משפט קנטור-בנדיקסון. לכל ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} }$ סגורה קיימת ${\displaystyle P}$ מושלמת ו-${\displaystyle C}$ בת-מנייה, כך ש-${\displaystyle X=P\cup C}$ ו-${\displaystyle P\cap C=\emptyset }$.

ההוכחה המקורית של המשפט עושה שימוש בדרגת קנטור-בנדיקסון של הקבוצה. אם ${\displaystyle X}$ קבוצה סגורה בישר שדרגתה ${\displaystyle \alpha }$ אז ${\displaystyle X^{\alpha }}$ קבוצה מושלמת. מכך שהישר הוא מרחב מנייה שנייה נובע ש-${\displaystyle X\setminus X^{\alpha }}$ בת-מנייה. נציג כאן הוכחה אלמנטרית יותר.

תהי ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} }$ סגורה. נתייחס ל-${\displaystyle X}$ כמרחב טופולוגי עם הטופולוגיה המושרית מהישר. נקודת עיבוי של ${\displaystyle X}$ היא נקודה שכל סביבה שלה (ב-${\displaystyle X}$) אינה בת-מנייה. תהי ${\displaystyle P}$ קבוצת נקודות העיבוי של ${\displaystyle X}$.

נוכיח כי ${\displaystyle C=X\setminus P}$ בת-מנייה. ${\displaystyle B=\{X\cap (p,q):p,q\in \mathbb {Q} \}}$ הוא בסיס בן-מנייה של ${\displaystyle X}$. תהי ${\displaystyle \{U_{n}\}_{n}}$ קבוצת כל איברי ${\displaystyle B}$ שהן קבוצות בנות-מנייה.

כל ${\displaystyle x\in U_{n}}$ אינה נקודת עיבוי, כי ${\displaystyle U_{n}}$ סביבה בת-מנייה, ולכן ${\displaystyle x\in C}$. מצד שני, לכל ${\displaystyle x\in C}$ יש סביבה בת-מנייה, המכילה תת-סביבה בסיסית כלשהי שהיא בת-מנייה, ולכן ${\displaystyle C=\cup _{n\in \mathbb {N} }U_{n}}$. מכאן ש-${\displaystyle C}$ בת-מנייה כאיחוד בן-מנייה של קבוצות בנות-מנייה.

נוכיח כי ל-${\displaystyle P}$ אין נקודות מבודדות. תהי ${\displaystyle x\in P}$ ותהי ${\displaystyle U}$ סביבה שלה. מכיוון ש-${\displaystyle x}$ נקודת עיבוי ${\displaystyle U}$ אינה בת-מנייה. ${\displaystyle C}$ בת-מנייה ולכן ${\displaystyle U\setminus C}$ מכילה אינסוף נקודות. אולם ${\displaystyle U\setminus C\subseteq X\setminus C=P}$, ולכן ${\displaystyle U}$ מכילה אינסוף נקודות של ${\displaystyle P}$, כלומר ${\displaystyle x}$ לא מבודדת ב-${\displaystyle P}$.

כדי להוכיח ש-${\displaystyle P}$ מושלמת נותר להוכיח כי היא סגורה ב-${\displaystyle \mathbb {R} }$. ${\displaystyle P}$ סגורה ב-${\displaystyle X}$ כי ${\displaystyle C}$ פתוחה ב-${\displaystyle X}$ כאיחוד של קבוצות פתוחות. לפי הגדרת הטופולוגיה המושרית קיימת ${\displaystyle Y}$ סגורה ב-${\displaystyle \mathbb {R} }$ כך ש-${\displaystyle P=X\cap Y}$. לכן ${\displaystyle P}$ סגורה בישר כחיתוך של קבוצות סגורות.

כל קבוצה מושלמת היא ריקה או מעוצמת הרצף. לכן ממשפט קנטור-בנדיקסון נובע שכל קבוצה סגורה היא בת-מנייה (במקרה ${\displaystyle P=\emptyset }$) או מעוצמת הרצף. כל קבוצה פתוחה לא ריקה מכילה גם היא קבוצה מושלמת לא ריקה (כי היא מכילה קטע סגור שהוא מושלם). קנטור קיווה להוכיח שכל קבוצה שאינה בת-מנייה מכילה קבוצה מושלמת ובכך להוכיח את השערת הרצף. אם מניחים את אקסיומת הבחירה, טענה זו אינה נכונה וניתן לבנות בלכסון דוגמה נגדית.