משפט הלמהולץ

במכניקת הזורמים, משפט הלמהולץ הוא סט של משפטים הנוגעים לתנועתם של קווי ערבול (ראה הגדרה בהמשך) בתלת מימד עבור זורם לא דחיס ללא צמיגות שלא מופעלים עליו כוחות סיבוביים. המשפטים הוכחו על ידי הרמן פון הלמהולץ בשנת 1858 וקרויים על שמו. המשפטים הם[1]:

משפט הלמהולץ הראשון:

זרימה שבראשית תנועתה לא מכילה ערבוליות, תישאר חופשייה מערבוליות במשך כל התנועה.

משפט הלמהולץ השני:

אלמנטי זורם שהיו חלק מקו ערבול ברגע מסוים בזרימה, יישארו על קו ערבול למשך כל הזרימה. במילים אחרות, קווי ערבול זזים ביחד עם הזורם.

משפט הלמהולץ השלישי:

החוזק של צינור ערבול הנקבעת על ידי אינטגל שטחי של הערבוליות בחתך של הצינור, איננו תלוי בחתך שנבחר ואיננה תלויה בזמן.

לעיתים מוסיפים למשפטים אלו משפט נוסף הקובע:

קו ערבול לא יכול להתחיל או להסתיים בזורם. כלומר, קו ערבול חייב להתחיל בשפה או ליצור לולאה.

משפטי הלמהולץ נובעים בפשטות ממשפט הסירקולציה של קלווין. מבחינה היסטורית, הלמהולץ פרסם את תוצאותיו תשע שנים לפני קלווין והשתמש בשיטה אחרת להוכיחם.

קווי ערבול, צינורות ערבול ומשטחי ערבול

באופן דומה להגדרת קווי זרם, ניתן להגדיר קווי ערבול (באנגלית: Vortex filament) כקווים עבורם ברגע מסוים הקו מקביל לוקטור הערבוליות . בדומה לקווי זרם ניתן לקבל שקו הערבול מקיים את המשוואה:

בזמן מסוים .

אוסף קווי הערבול שעוברים דרך לולאה סגורה פשוטה מגדיר צינור ערבול (באנגלית: Vortex tube).

משטח ערבול (באנגלית: Vortex surface) הוא משטח עבורו הערבוליות משיקה למשטח בכל נקודה. כל קו ערבול ניתן להצגה כחיתוך בין שני משטחי ערבול.

הוכחה

ההוכחות המובעות בסעיף זה מבוססות על משפט הסירקולציה של קלווין. מבחינה היסטורית ניתן להוכיח את משפטי הלמהולץ ללא שימוש במשפט הסירקולציה.

הוכחה למשפט הראשון

נסתכל במשטח פשוט מסוים בזמן הסירקולציה מסביב ללולאה המקיפה את המשטח מקיימת:

כאשר המעבר הראשון מתבצע בעזרת חוק סטוקס והשני נובע מכך שהזורם חסר ערבוליות.

לפי משפט קלווין, הסירקולציה עבור כל לולאת זורם קבועה, ולכן בכל זמן מאוחר מתקיים שהסירקולציה עבור הלולאה שהתקדמה עם הזורם מתאפסת, לפיכך על פי חוק סטוקס האינטגרל המשטחי על המשטח מתאפס. מאחר שהטיעון הנל נכון לכל משטח בהכרח מתקיים לכל נקודה במרחב.

הוכחה למשפט השני

נסתכל במשטח פשוט מסוים המהווה חלק ממשטח ערבול בזמן הסירקולציה מסביב ללולאה המקיפה את המשטח מקיימת:

כאשר המעבר הראשון מתבצע בעזרת חוק סטוקס והשני נובע מכך שהמשטח הוא משטח ערבול ובפרט מקיים .

לפי משפט קלווין, הסירקולציה עבור כל לולאת זורם קבועה, ולכן בכל זמן מאוחר מתקיים שהסירקולציה עבור הלולאה שהתקדמה עם הזורם מתאפסת, לפיכך על פי חוק סטוקס האינטגרל המשטחי על המשטח מתאפס.

כל קו ערבול ניתן להצגה כחיתוך של שני משטחי ערבול, ניתן לחזור על הטיעון הנל עבור משטח ערבול שני, המכיל את קו הערבול. לפיכך נקבל שבכל זמן מאוחר קו הערבול המתקדם בזמן מהווה חיתוך של שני משטחי ערבול, ולפיכך הוא קו ערבול.

הוכחה למשפט השלישי

חוזק של צינור ערבול נתון על ידי:

כאשר הוא חתך לרוחב צינור הערבול. החלק הראשון של המשפט השלישי קובע כי החזק קבוע לאורך אורכו ואינו תלוי בחתך שנבחר. כדי להוכיח את החלק הזה נסתכל על האינטגרל הניפחי של דיברגנץ הערבוליות עבור הנפח החסום בין דפנות הצינור (נסמן ) ושני חתכים שונים לאורך הצינור (נסמן ו- ) . מתקיים:

מצד שני על פי משפט הדיברגנץ מתקיים:

הוא חלק מדפנות הצינור, כלומר הוא איחוד של קווי ערבול ולכן מתקיים עבורו ולכן נקבל ש-

(החלפת הסימן נובעת מהכיוון בו מגדירים את הנורמל. בשימוש משפט הדיברגנץ הנורמל הוגדר כיוצא אל מחוץ לנפח, ולכן כיוון הנורמל למשטח מנוגד לכיוון הנורמל ל-, בהגדרת חוזק המערבולת נרצה שכיוון הנורמל של שני המשטחים דומה)

החלק השני של המשפט קובע שחוזק צינור הערבול קבוע לאורך הזמן. חלק זה מוכח על ידי שימוש במשפט הסירקולציה. לפי משפט סטוקס חוזק הצינור מקיים:

לפי משפט הסירקולציה הגודל הזה אינו תלוי בזמן.

שימושים

למשפט הלמהולץ שימושים רבים בהבנה ובתיאור של מערבולות, בפרט המשפט מאפשר להבין התפתחות של מערבולת קצה כנף, תנועה של טורנדו, ודעיכה של המערבולות הנוצרות לאחר ערבוב של כוס תה. המשפט גם מסביר את התפתחותם של טבעות מערבולת.

הערות שוליים

  1. ^ Tsutomu Kambe, Elementary Fluid Mechanics, WORLD SCIENTIFIC, 2007-01, ISBN 978-981-256-416-0

Read other articles:

Disambiguazione – Se stai cercando altri significati, vedi Harem (disambigua). Donna di Kabul (1848, di James Rattray) mostrandosi senza velo nelle zone dello zenana Il termine harem (in arabo حريم‎?, harīm, o haramlik, propriamente luogo inviolabile o proibito)[1][2] indica il gineceo: il luogo riservato destinato alla vita privata delle donne (mogli e concubine) nel mondo islamico medievale e moderno.[3][4][5] Un harem può rapprese...

 

 

The third major outbreak of cholera, 1846–1860 worldwide pandemic For another third occurrence of a pandemic, see Third plague pandemic. 1846–1860 cholera pandemicPavel Fedotov's painting shows a death from cholera in the mid-19th century. DiseaseCholeraFirst outbreakIndiaDates1846–1860 The third cholera pandemic (1846–1860) was the third major outbreak of cholera originating in India in the 19th century that reached far beyond its borders, which researchers at University of Californi...

 

 

Jalan Huanchengdong环城东路Peron stasiunNama lainJalan Huandong (dulu)LokasiJalan Huancheng Timur Nanqiao dan Jalan Tol HangnanDistrik Fengxian, ShanghaiTiongkokKoordinat30°55′59″N 121°27′32″E / 30.933035°N 121.458852°E / 30.933035; 121.458852OperatorShanghai No. 1 Metro Operation Co. Ltd.Jalur     Jalur 5Jumlah peron2 (1 peron pulau)Jumlah jalur2KonstruksiJenis strukturBawah tanahAkses difabelYaSejarahDibuka30 Desember 2018Operasi l...

filmografi Im Yoon-ahIm Yoon-ah pada 22 Juli 2017.Film4Seri Televisi12Acara Televisi2Seri Web1Pembawa Acara18Iklan28 Im Yoon-ah (lahir 30 Mei 1990) dikenal juga sebagai YoonA (윤아) adalah penyanyi, aktris, penari, model, dan presenter asal Korea Selatan. Ia merupakan anggota girl grup Girls' Generation di bawah label SM Entertainment. Film Tahun Judul Peran Catatan Ref. 2012 I AM. Yoona Film tentang anggota SM Town [1] 2015 SMTown The Stage Film dokumenter tentang SM Town [2 ...

 

 

Pour les articles homonymes, voir Bremer. Paul Bremer Paul Bremer le 26 septembre 2003. Fonctions Administrateur provisoire de la coalition en Irak 12 mai 2003 – 28 juin 2004(1 an, 1 mois et 16 jours) Chef du gouvernement Mohammad Bahr al-OuloumIbrahim al-JaafariAhmed ChalabiIyad AllaouiJalal TalabaniAbdel Aziz al-HakimAdnan PachachiMohsen Abdel HamidMassoud BarzaniEzzedine SalimGhazi Machal Ajil al-Yawer Prédécesseur Jay Garner Successeur Ghazi Machal Ajil al-Yawer (prés...

 

 

Disambiguazione – Se stai cercando l'omonimo generale statunitense, vedi Jefferson Columbus Davis. Questa voce o sezione sugli argomenti militari statunitensi e politici statunitensi non cita le fonti necessarie o quelle presenti sono insufficienti. Puoi migliorare questa voce aggiungendo citazioni da fonti attendibili secondo le linee guida sull'uso delle fonti. Segui i suggerimenti dei progetti di riferimento 1, 2. Jefferson DavisRitratto ufficiale di Jefferson Davis Presidente degl...

Sport in England Uppies and Downies is a version of Hand Ba game, with roots in even earlier games,[1][2][3][4] played in Workington, West Cumbria, England. The modern tradition began some time in the latter half of the 19th century, with the match played annually at Easter to raise money for local charities.[5][6][7] The game The object of the game is to hail the ball (throw it up in the air three times) at the team's goal. The Downies'...

 

 

American politician This article contains content that is written like an advertisement. Please help improve it by removing promotional content and inappropriate external links, and by adding encyclopedic content written from a neutral point of view. (August 2020) (Learn how and when to remove this message) Deborah GlickMember of the New York State Assemblyfrom the 66th districtIncumbentAssumed office January 3, 1991Preceded byWilliam F. Passannante Personal detailsBorn (1950-12-24) Decem...

 

 

ヨハネス12世 第130代 ローマ教皇 教皇就任 955年12月16日教皇離任 964年5月14日先代 アガペトゥス2世次代 レオ8世個人情報出生 937年スポレート公国(中部イタリア)スポレート死去 964年5月14日 教皇領、ローマ原国籍 スポレート公国親 父アルベリーコ2世(スポレート公)、母アルダその他のヨハネステンプレートを表示 ヨハネス12世(Ioannes XII、937年 - 964年5月14日)は、ロ...

الأنبا ميخائيل معلومات شخصية الميلاد 4 يوليو 1921   مصر  تاريخ الوفاة 23 نوفمبر 2014 (93 سنة)   مواطنة مصر  الحياة العملية المهنة قسيس  اللغة الأم اللهجة المصرية  اللغات العربية،  واللهجة المصرية  تعديل مصدري - تعديل   أنبا ميخائيل مطران أسيوط (قنا 4 يوليو 1921- ا...

 

 

Association football club in Greater Manchester, England Stockport Town redirects here. For the large town in Greater Manchester, England, see Stockport. Football clubStockport TownFull nameStockport Town Football ClubNickname(s)The Lions, TownFounded2014GroundStockport Sports Village, Woodley, StockportCapacity2,384 (192 Seats)OwnerMark StottChairmanCarlos RocaManagerPaul TurnbullLeagueNorth West Counties League Premier Division2023–24North West Counties League Division One South, 2nd of 1...

 

 

جيف بيزوس (بالإنجليزية: Jeff Bezos)‏  معلومات شخصية اسم الولادة (بالإنجليزية: Jeffrey Preston Jorgensen)‏[1]  الميلاد 12 يناير 1964 (العمر 60 سنة)ألباكركي، نيومكسيكو الإقامة مدينا[2]  مواطنة الولايات المتحدة  عضو في الأكاديمية الأمريكية للفنون والعلوم،  وفاي بيتا كابا،  �...

Any life form too small for the naked human eye to see that lives in a marine environment Role of the microbial community in the marine carbon cycle Part of a series of overviews onMarine life Habitats Microorganisms Microbiomes Viruses Prokaryotes Protists Fungi Invertebrates Vertebrates Primary production Food web Carbon pump Biogeochemical cycles Human impact Conservation Marine life portalvte Part of a series onPlankton Trophic mode Phytoplankton Zooplankton Mixoplankton Mycoplankton ...

 

 

العلاقات الأيرلندية المالية جمهورية أيرلندا مالي   جمهورية أيرلندا   مالي تعديل مصدري - تعديل   العلاقات الأيرلندية المالية هي العلاقات الثنائية التي تجمع بين جمهورية أيرلندا ومالي.[1][2][3][4][5] مقارنة بين البلدين هذه مقارنة عامة ومرجعية للد...

 

 

UK vocational education organisation This article is about the City and Guilds of London Institute. For the City and Guilds of London Art School, see City and Guilds of London Art School. The City and Guilds of London InstituteCoat of arms of The City and Guilds of London InstituteEstablished1878; 146 years ago (1878)Registration no.312832Legal statusCharityHeadquartersLondonRegion WorldwideChief ExecutiveKirstie DonnellyChair of CouncilDame Ann LimbWebsitecityandguilds...

Pour les articles homonymes, voir Santa Maria. Santa María Réplique de l'exposition spécialisée de Lisbonne 1998 au Portugal. Autres noms Santa María de la Inmaculada Concepción Type Caraque trois-mâts Fonction Navire amiral Histoire Chantier naval A Moureira de Pontevedra (royaume de Galice) Lancement Vers 1480 Équipage Équipage 39 marins (estimés) Caractéristiques techniques Longueur 25 m (estimée) Maître-bau 8 m (estimé) Tirant d'eau 2.1 m Tirant d'air 3.4 m Voilure 270 ...

 

 

هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (يونيو 2021) اضغط هنا للاطلاع على كيفية قراءة التصنيف زعتر الريحان   المرتبة التصنيفية نوع  التصنيف العلمي  فوق النطاق  حيويات مملكة عليا  حقيقيات النوى مملك...

 

 

Chicago Recording Scale Company Rechtsform Company Gründung 1906 Auflösung 1907 Sitz Waukegan, Illinois, USA Branche Automobilindustrie Apollo von 1906 Chicago Recording Scale Company war ein US-amerikanischer Hersteller von Automobilen.[1][2] Inhaltsverzeichnis 1 Unternehmensgeschichte 2 Fahrzeuge 3 Literatur 4 Weblinks 5 Einzelnachweise Unternehmensgeschichte Das Unternehmen wurde 1906 in Waukegan in Illinois zur Produktion von Automobilen gegründet. Der Markenname laute...

Golf course in Devon, England 51°02′46″N 4°13′34″W / 51.046°N 4.226°W / 51.046; -4.226 Royal North Devon Golf Club, Northam Royal North Devon Golf Club, commonly abbreviated as RND, was founded in 1864,[1] and is the oldest golf course in England.[2] The course was designed by Scottish golfer Old Tom Morris.[3] Geography RND is located on Northam Burrows between Northam and Westward Ho! Northam Burrows is common land and was notified...

 

 

For other uses, see Arroio Grande (disambiguation). Place in Rio Grande do Sul, BrazilArroio Grande FlagCoat of armsLocation in Rio Grande do Sul stateArroio GrandeCoordinates: 32°14′16″S 53°5′13″W / 32.23778°S 53.08694°W / -32.23778; -53.08694CountryBrazilStateRio Grande do SulMesoregionSudeste Rio-GrandenseMicroregionJaguarãoArea • Total2,513.60 km2 (970.51 sq mi)Elevation22 m (72 ft)Population (2020 [1])...