באנליזה פונקציונלית, משפט אַרְצֶלָה-אַסְקוֹלִי (Arzelà–Ascoli, נקרא גם משפט אסקולי) מעניק אפיון מלא לקומפקטיות של משפחת פונקציות רציפות בקבוצה קומפקטית, באמצעות תכונת הרציפות במידה אחידה. המשפט מהווה הכללה מרחיקת-לכת של משפט בולצאנו-ויירשטראס.

אם ${\displaystyle K}$ הוא מרחב מטרי קומפקטי כלשהו, מסמנים ב-${\displaystyle C(K)}$ את מרחב הפונקציות הרציפות ${\displaystyle f\colon K\to \mathbb {C} }$, שמהווה מרחב וקטורי ביחס לפעולות הסכום והכפל בסקלר המוגדרות נקודתית. זהו מרחב בנך (כלומר מרחב נורמי שלם) תחת נורמת ${\displaystyle L_{\infty }}$: ${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\sup _{x\in K}|f(x)|}$.

כמו בכל מרחב מטרי, תת-קבוצה ${\displaystyle A}$ של ${\displaystyle C(K)}$ היא "חסומה" אם קיים חסם ממשי על כל ערכי הפונקציות שלה.

משפט ארצלה אסקולי: תהי ${\displaystyle A\subseteq C(K)}$ קבוצה חסומה. אזי לכל סדרה ב-${\displaystyle A}$ קיימת תת-סדרה מתכנסת, אם ורק אם ${\displaystyle A}$ רציפה במידה אחידה.

מסקנה: אם ${\displaystyle A\subseteq C(K)}$ סגורה (בטופולוגיה הנורמית) וחסומה, אז ${\displaystyle A}$ קומפקטית אם ורק אם היא רציפה במידה אחידה.

הוכחה: ממשפט ארצלה-אסקולי נובע כי אם ${\displaystyle A}$ חסומה ורציפה במידה אחידה, אז לכל סדרה יש תת-סדרה מתכנסת. תוספת הנתון ש-${\displaystyle A}$ סגורה קובע כי תת-סדרה זו מתכנסת לתוך ${\displaystyle A}$. מכאן ש-${\displaystyle A}$ מהווה מרחב מטרי שבו לכל סדרה יש תת-סדרה מתכנסת, תכונה השקולה לקומפקטיות. הכיוון השני של השקילות נובע באופן טריוויאלי מהמשפט.

מסקנה: אופרטור האינטגרל ${\displaystyle T\colon C(K)\to C(K)}$ המוגדר ${\displaystyle \ T(f)=\int _{a}^{b}k(s,t)f(t)\,\mathrm {d} t}$, כאשר ${\displaystyle k}$ גרעין רציף על ${\displaystyle K\times K}$, הוא אופרטור קומפקטי.

תהי ${\displaystyle A\subseteq C\left(K\right)}$ קבוצה חסומה ונניח שאיברי ${\displaystyle A}$ רציפים במידה אחידה. נראה שלכל סדרה ב-${\displaystyle A}$ יש תת-סדרה מתכנסת. תהי ${\displaystyle \left\{f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ סדרת פונקציות ב-${\displaystyle A}$. תהי ${\displaystyle \left\{x_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }}$ סדרה צפופה ב-${\displaystyle K}$ (קיימת כזאת כי ${\displaystyle K}$ מרחב מטרי קומפקטי לכן ספרבילי).

נתבונן בסדרה ${\displaystyle \left\{f_{n}\left(x_{1}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }}$. זוהי סדרה חסומה ב-${\displaystyle \mathbb {C} }$ בפרט יש לה תת-סדרה מתכנסת. נסמן אותה ב-${\displaystyle \left\{f_{n}^{1}\left(x_{1}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }}$ ואת גבולה ב-${\displaystyle \xi _{1}}$. כעת נתבונן בסדרה ${\displaystyle \left\{f_{n}^{1}\left(x_{2}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }}$. גם זו סדרה חסומה ב-${\displaystyle \mathbb {C} }$ לפיכך יש לה תת-סדרה מתכנסת שאותה נסמן ב-${\displaystyle \left\{f_{n}^{2}\left(x_{2}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }}$ ואת גבולה ב-${\displaystyle \xi _{2}}$. וכך בתהליך איטרטיבי לכל ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ נגדיר את הסדרה ${\displaystyle \left\{f_{n}^{m}\left(x_{m}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }}$ להיות תת-סדרה מתכנסת של ${\displaystyle \left\{f_{n}^{m-1}\left(x_{m}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }}$ ואת גבולה נסמן ב-${\displaystyle \xi _{m}}$.

אם כן, קיבלנו סדרה של סדרות פונקציות. נתבונן בסדרת האלכסון ${\displaystyle \left\{g_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ המוגדרת לכל ${\displaystyle n}$ כך ${\displaystyle g_{n}:=f_{n}^{n}}$ (כלומר זו סדרת פונקציות שהאיבר ה-${\displaystyle n}$-י שלה הוא האיבר ה-${\displaystyle n}$-י בסדרה ה-${\displaystyle n}$-ית).

1. זוהי תת-סדרה של ${\displaystyle \left\{f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$.
2. לכל ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ הסדרה ${\displaystyle \left\{g_{n}\left(x_{k}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }}$ מתכנסת ל-${\displaystyle \xi _{k}}$ שכן הזנב שלה, ${\displaystyle \left\{g_{n}\left(x_{k}\right)\right\}_{n=k}^{\infty }}$, הוא תת-סדרה של ${\displaystyle \left\{f_{n}^{k}\left(x_{k}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }}$.

יהי ${\displaystyle \varepsilon >0}$. אברי ${\displaystyle A}$ רציפים במידה אחידה לכן קיים ${\displaystyle \delta >0}$ כך שלכל ${\displaystyle x,y\in K}$ ולכל ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, אם ${\displaystyle d\left(x,y\right)<\delta }$ אזי ${\displaystyle |g_{n}\left(x\right)-g_{n}\left(y\right)|<{\frac {\varepsilon }{3}}}$ (כאשר ${\displaystyle d}$ היא פונקציית המטריקה ב-${\displaystyle K}$). אבל ${\displaystyle K}$ קומפקטי, לפיכך נכסה אותו במספר סופי של כדורים פתוחים בקוטר ${\displaystyle \delta }$ שנסמנם ב-${\displaystyle O_{1},\dots ,O_{l}}$.

לכל ${\displaystyle 1\leq i\leq l}$ קיים ${\displaystyle k_{i}\in \mathbb {N} }$ כך ש-${\displaystyle x_{k_{i}}\in O_{i}}$ (כי ${\displaystyle \left\{x_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }}$ צפופה ב-${\displaystyle K}$). כמו כן הסדרה ${\displaystyle \left\{g_{n}\left(x_{k_{i}}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }}$ מתכנסת ל-${\displaystyle \xi _{k_{i}}}$ לכן לפי תנאי קושי קיים ${\displaystyle N_{i}}$ כך שלכל ${\displaystyle n,m>N_{i}}$ מתקיים ${\displaystyle |g_{n}\left(x_{k_{i}}\right)-g_{m}\left(x_{k_{i}}\right)|<{\frac {\varepsilon }{3}}}$. נסמן ${\displaystyle N:=\max(N_{i})}$. כעת, לכל ${\displaystyle n,m>N}$ ולכל ${\displaystyle x\in K}$ קיים ${\displaystyle 1\leq i\leq l}$ כך ש-${\displaystyle x\in O_{i}}$ ומתקיים מאי שוויון המשולש${\displaystyle |g_{n}\left(x\right)-g_{m}\left(x\right)|\leq |g_{n}\left(x\right)-g_{n}\left(x_{k_{i}}\right)|+|g_{n}\left(x_{k_{i}}\right)-g_{m}\left(x_{k_{i}}\right)|+|g_{m}\left(x_{k_{i}}\right),g_{m}\left(x\right)|<\varepsilon }$. לכן, לפי תנאי קושי, הסדרה ${\displaystyle \left\{g_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ מתכנסת במידה שווה.

• דניאלה ליבוביץ, 7: קומפקטיות, טופולוגיה קבוצתית, בית ההוצאה לאור של האוניברסיטה הפתוחה, 2007, עמ' 159–160 (הקישור אינו פעיל, 2020-06-11) (אורכב 11.06.2020 בארכיון Wayback Machine). הספר מתוך "פא"ר – פתיחת אוצרות רוח", אתר הספרים הדיגיטליים של האוניברסיטה הפתוחה.