קליין נולד ב-1934 בעיירה ניראצ'אד שבהונגריה, בנם של דויד ופרל-מלכה.
בשנת 1944, כשהיה בן עשר, עזב את העיירה ונסע אל חוות "עליית הנוער" שבבודפשט. משם המשיך ליוגוסלביה ובאוגוסט 1946 עלה לארץ ישראל באוניית המעפילים "כנסת ישראל". יחד עם שאר מעפילי האונייה הועבר על ידי הבריטים למחנות המעצר בקפריסין, מהם שוחרר באוקטובר 1947.
באוגוסט 1947, בהיותו בן 13, החל קליין את לימודיו בכפר הנוער בן שמן. לאחר מספר חודשים פרצה מלחמת העצמאות, וכפר-הנוער כותר על ידי כנופיות ערבים. קליין, יחד עם יתר התלמידים פונה לחוף השרון.
בינואר 1952 גויס לחטיבת גולני. לאחר הטירונות, יצא לקורס מ"כים, כשלאחריו נשאר כמדריך עד לסיום שירות החובה שלו. בשנת 1955, יצא לקורס קצינים. לאחר שסיים את הקורס בהצטיינות שב לשרת בגדודו כקצין.
במלחמת סיני, אשר פרצה בשנת 1956, שימש כמפקד פלוגה בגדוד. על הפלוגה הוטל לכבוש את "מוצב 25" ברפיח.[1]. על התנהלותו בקרב זה הוענק לו עיטור העוז מהרמטכ"ל משה דיין.
תיאור המעשה: ב"מבצע קדש" היה סגן משה קליין ז"ל מפקד הכוח הפורץ למוצב אויב. לאחר שאמצעי הפריצה לא הופעלו, התייצב בראש יחידת החבלנים שלו ותחת אש אויב חזקה פרץ גדרות ושדה מוקשים ונאחז ביעד. בשעת טיהור היעד נתקל בכוח שני שפרץ פנימה בטעות, ועל ידי גילוי תושייה מנע אסונות מיותרים. בעוד הכוח השני לא ביצע משימתו בפריצה ליעד שני, המשיך סגן משה קליין ז"ל וכבש את חלקו השני של המוצב. במהירות הסתערותו גרם להתמוטטות האויב ומנע אסונות., ניסן תשל"ג אפריל 1973, רב-אלוף דוד אלעזר ראש המטה הכללי.
בשנת 1958 עבר לחטיבת הצנחנים, תחילה בתפקיד מ"פ ואחר כך התמנה לסמג"ד.
בסוף שנת 1965, לאחר שסיים את בית-הספר לפיקוד ומטה, שב לגולני לתפקיד קצין אג"ם. לאחר כשנה בתפקיד מונה למפקד גדוד 12 בחטיבה.
במהלך שירותו הצבאי הכיר קליין את אשתו שרה, ששירתה בגדודו כמורה חיילת. לזוג נולדו שני ילדים.
הקרב בתל פאחר
במסגרת תוכנית הקרב של חטיבת גולני בצפון רמת הגולן, הוטל על גדוד 12 בפיקודו של קליין לכבוש את תל פאחר, אשר היווה חלק ממערך מוצבים סורי בעל עומק טקטי בין הכפר זעורה לבין הגבול הישראלי.
במסגרת הקרב, אשר החל ב-9 ביוני1967 (היום החמישי למלחמת ששת הימים) יצא בראש שורה של זחל"מים לכיבוש התל. במהלך הקרב, חלק ניכר מהכוח נפגע מאש טנקים סוריים, עוד לפני שהצליח שהגיע אל היעד. קליין הוביל את הלחימה והטיהור מלפנים. וכשעלה לראש התל לאחר הטיהור על מנת לתאם בין כוחותיו הוא נפגע מצרור של חייל סורי ומת במקום. התנהגותו של קליין השפיעה על חייליו שהמשיכו בקרב וכבשו את היעד בכמה צירים נפרדים. לאחר שפיקוד-הגדוד ברובו נפגע בקרב נועז ועקוב-מדם, אשר נמשך כ-5 שעות ובו נהרגו 36 חיילים, בסיומו של הקרב, נכבש היעד.
תיאור המעשה: סא"ל קליין משה ז"ל פיקד על הכוח אשר נועד לכבוש את תל פחר, בתאריך 9 ביוני 1967. הכוח נפגע מאש נ"ט בעת התנועה אל היעד ורוב ה-זחל"מים יצאו מכלל פעולה. על-מנת לשמור על רציפות התקיפה, ארגן כוח קטן והסתער בראשו על היעד. סא"ל קליין משה ז"ל נהרג תוך-כדי לחימה בתוך היעד. על מעשה זה הוענק לו: עיטור המופת ניסן תשל"ג אפריל 1973, דוד אלעזר, רב-אלוף, ראש המטה הכללי.
