כלל לייבניץ (מכונה גם כלל המכפלה) הוא כלל העוסק בגזירת מכפלות של פונקציות הנקרא על שמו של גוטפריד וילהלם לייבניץ.

הכלל המקורי עוסק בנגזרת ראשונה של מכפלת פונקציות: ${\displaystyle (f\cdot g)'=f'g+fg'}$ לכל שתי פונקציות ${\displaystyle f,g}$, או בסימוני לייבניץ:

${\displaystyle {\frac {d(uv)}{dx}}={\frac {du}{dx}}v+u{\frac {dv}{dx}}}$

מכלל לייבניץ הבסיסי אפשר לפתח את נוסחת האינטגרציה בחלקים:

${\displaystyle \int uv'\,dx=uv-\int u'v\,dx}$

ניתן להוכיח את כלל לייבניץ ישירות על ידי חישוב הנגזרת:

${\displaystyle {\begin{aligned}(f\cdot g)'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h){\bigl [}f(x+h)-f(x){\bigr ]}+f(x){\bigl [}g(x+h)-g(x){\bigr ]}}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\cdot \lim _{h\to 0}g(x+h)+\lim _{h\to 0}f(x)\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\\&=f'\!(x)g(x)+f(x)g'\!(x)\end{aligned}}}$

לפונקציות חיוביות, ניתן להוכיח את הכלל על ידי שימוש בכלל השרשרת ובתכונות של הלוגריתם הטבעי:
לכל שתי פונקציות חיוביות ${\displaystyle f,g}$ מתקיים ${\displaystyle \ln(f\cdot g)=\ln(f)+\ln(g)}$.
אם נגזור את שני האגפים ונשתמש בכלל השרשרת נקבל:

${\displaystyle {\frac {(f\cdot g)'}{fg}}={\frac {f'}{f}}+{\frac {g'}{g}}}$

לייבניץ הכליל את הנוסחה לנגזרת ה-${\displaystyle n}$-ית:

${\displaystyle (f\cdot g)^{(n)}=\sum _{k\,=\,0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(k)}g^{(n-k)}}$

כאשר ${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$ הוא המקדם הבינומי. הביטוי דומה מאוד לבינום של ניוטון:

${\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k\,=\,0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}}$

הדמיון אינו מקרי, כי את שתי הנוסחאות מוכיחים בצורה זהה באמצעות אינדוקציה, ושתיהן נשענות על אותו רעיון קומבינטורי.

ניתן להשתמש בכלל כדי לגזור מכפלה של כמה פונקציות. לדוגמה:

${\displaystyle (uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'}$

${\displaystyle (uvwz)'=u'vwz+uv'wz+uvw'z+uvwz'}$

באופן כללי, אם הפונקציה היא ${\displaystyle f(x)=\prod _{i\,=\,1}^{n}f_{i}(x)}$ הנגזרת היא:

${\displaystyle f'=\sum _{i\,=\,1}^{n}f_{i}'\prod _{k\,=\,1 \atop k\,\neq \,i}^{n}f_{k}}$

אם אף אחת מהפונקציות לא שווה ל-${\displaystyle 0}$, אפשר לכתוב זאת גם כך:

${\displaystyle {\frac {(f_{1}\cdots f_{n})'}{f_{1}\cdots f_{n}}}={\frac {f_{1}'}{f_{1}}}+\cdots +{\frac {f_{n}'}{f_{n}}}}$

• נגזרת
• אינטגרציה בחלקים

מדיה וקבצים בנושא כלל לייבניץ לנגזרת מכפלה בוויקישיתוף

• כלל לייבניץ לנגזרת מכפלה, באתר MathWorld (באנגלית)
• כלל לייבניץ לנגזרת מכפלה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)