כוח משמר

כוח משמר הוא כוח במכניקה קלאסית שניתן להגדיר לו אנרגיה פוטנציאלית. תכונה זו מאפשרת לנתח את השפעת כוח כזה בקלות רבה יותר מאשר כוחות אחרים. חשיבות המושג נגזרת מכך שכוחות רבים בטבע הם כוחות מרכזיים שהם בפרט כוחות משמרים: כוח הכבידה, הכוח האלקטרוסטטי, וכוחות אלסטיים הם דוגמאות לכוחות משמרים.

הגדרה

כוח נקרא כוח משמר אם ורק אם סך העבודה הנעשית על ידי על גוף הוא אפס בתנועתו בכל מסילה סגורה שהיא.

אין דרישה שהכוח יגרום לגוף לנוע במסילה סגורה, אלא רק שאם הגוף חוזר לנקודת ההתחלה בזמן כלשהו, אז העבודה הכוללת של על הגוף תהיה אפס, בלי תלות במסלול שביצע הגוף.

אם הכוחות האחרים הפועלים על הגוף הם כוחות מאלצים, הניצבים לתנועת הגוף, אז סך כל העבודה שתתבצע על הגוף במהלך התנועה יהיה אפס; כאשר יחזור לנקודת ההתחלה תהיה לו אותה אנרגיה קינטית (אותו גודל מהירות). תהליך זה הוא ביטוי לחוק שימור האנרגיה.

כוח משמר ואנרגיה פוטנציאלית

העבודה של כוח משמר על גוף תלויה רק בנקודות הקצה של התנועה

ההגדרה שניתנה מסבירה מדוע כוחות אלו נקראים משמרים, אך יש הגדרה שקולה ושימושית יותר:

כוח ייקרא משמר אם העבודה שהוא מבצע על גוף בתנועה תלויה אך ורק בנקודות הקצה של התנועה.

לדוגמה, בתרשים משורטטות שתי מסילות אפשריות לתנועה של גוף, S1 ו-S2, שלהן אותן נקודות קצה – נקודה 1 ונקודה 2. אם הוא כוח משמר, אז העבודה שהוא יבצע על הגוף בתנועה בשני המסלולים שווה.

הגדרה זו שקולה להגדרה המקורית, כיוון שמסילה סגורה היא מסילה שבה נקודות הקצה מתלכדות, כלומר נקודת ההתחלה זהה לנקודת הסיום. לכן, אם כוח הוא משמר לפי ההגדרה השנייה, העבודה שלו לאורך מסילה כזו תהיה שווה לעבודה שלו על גוף שנותר בנקודת ההתחלה (שהרי זו מסילה אחרת, עם אותן נקודות קצה), כלומר אפס.

ההוכחה בכיוון ההפוך קצת מורכבת יותר: העבודה של הכוח על מסילות סגורות היא אפס, ויהיו S1 ו-S2 מסילות כלשהן עם אותן נקודות קצה, כמתואר בתרשים. לפי ההנחה, העבודה של הכוח על המסילה הסגורה , כלומר המסילה S1 ולאחריה המסילה S2 בכיוון ההפוך, היא אפס. העבודה הכוללת היא העבודה על כל קטע במסילה בנפרד, לכן:

כאשר מייצג את העבודה של לאורך מסילה . אך היפוך המסילה הופך את הסימן של העבודה, ולכן מקבלים ש־, כנדרש.

בעזרת תכונה זו ניתן להגדיר פוטנציאל לכוח (או בניסוח אחר, להגדיר את האנרגיה הפוטנציאלית של גוף הנע בהשפעת ), כך: בוחרים נקודה שרירותית בתור נקודת ייחוס, . עתה, לכל נקודה במרחב ניתן להגדיר פונקציה על ידי: , כאשר היא מסילה כלשהי מ־ ל־ (פה משתמשים בכך שהעבודה תלויה אך ורק בנקודות הקצה של המסילה).

העבודה של הכוח על גוף הנע מנקודה A לנקודה B נתונה על ידי . נוסחה זו מאפשרת לכתוב את חוק שימור האנרגיה בצורה הבאה: .

כאן הוא השינוי באנרגיה הקינטית של הגוף, ו- היא העבודה של הכוחות האחרים (אם ישנם) על הגוף. בפרט, אם הגוף נע אך ורק בהשפעת כוח משמר, מתקבל גודל שנשמר לאורך כל התנועה – . גודל כזה מכונה "אינטגרל של התנועה", והוא מקל מאוד בפתרון המשוואות הדיפרנציאליות של התנועה.

תיאור מתמטי

ערך מורחב – שדה וקטורי משמר

התנאים הבאים שקולים לכך שכוח הוא כוח משמר:

  1. העבודה שהכוח מבצע על גוף לאורך כל מסילה סגורה C היא אפס:
  2. ניתן להגדיר פוטנציאל U לכוח:
  3. הרוטור של הכוח הוא אפס בכל מקום:

דוגמאות לכוח משמר

פיתוח דוגמת הכבידה

שדה הכבידה סמוך לכדור-הארץ הוא בקירוב מצוין שדה כוח אחיד, כלומר כוח קבוע, הפועל על גוף בעל מסה מסוימת באופן שאינו תלוי במיקומו של הגוף. במקרה של כוח הכבידה, הכוח מכוון כלפי מטה וגודלו הוא כאשר היא מסת הגוף, ו- הוא קבוע תאוצת הכובד וערכו הוא בקירוב 9.81 מטר לשנייה בריבוע.

מכיוון שלכוח רכיב אנכי בלבד, שגודלו אינו תלוי במיקום הגוף, העבודה שהכוח מבצע על גוף תלויה אך ורק בתנועה של הגוף בציר האנכי. חישוב פשוט מראה שבתנועה מנקודה 1 לנקודה 2, העבודה שהכוח מבצע נתונה על ידי הנוסחה

כאשר ו- הם הגבהים של הנקודות A ו-B, בהתאמה. במילים אחרות, כוח הכבידה משמר ופונקציית הפוטנציאל שלו נתונה על ידי:

העבודה שמבוצעת על חרוז בשדה כבידה אחיד תלויה אך ורק בגובה של נקודת ההתחלה והקצה

עובדה זו מאפשרת ניתוח של תנועת הגוף בהשפעת הכבידה בקלות רבה. למשל אם חרוז מחליק ללא חיכוך על מסילה חלקה כלשהי – מפותלת ומורכבת ככל שתהיה – ניתן לדעת שמהירותו בכל נקודה תקיים את המשוואה:

כלומר:

כאן , כאשר ו- הם המהירות והגובה ההתחלתיים של הגוף.

הקירוב של כוח הכבידה ככוח אחיד אינו נחוץ, שכן כוח הכבידה הכללי הוא כוח משמר מנקודת המבט הקלאסית. ניוטון, שהיה הראשון שנתן ניסוח נכון של כוח הכבידה הרחק מפני כדור הארץ, הסתמך על כך שהוא כוח משמר בחישוב מסלוליהם של כוכבי הלכת. טיפול בנוסחה הכללית הוא מורכב יותר ודורש שימוש בחשבון אינפיניטסימלי.

כוחות לא משמרים

ישנם כוחות התלויים במשתנים נוספים מלבד המיקום של הגוף, כוחות כגון כוח החיכוך, וכוחות סחף. כוחות אלה בוודאי אינם יכולים להיות כוחות משמרים. ניתן גם להמציא, יחסית בקלות, כוחות שאף-על-פי שהם תלויים במיקום בלבד, הם אינם כוחות משמרים.

למשל, ניתן לדמיין את שדה הכוח הבא – בנקודות מחוץ לסלון, הכוח פועל על הגוף כמו כוח הכבידה, כלומר ככוח אחיד המכוון כלפי מטה. על נקודות בתוך חלל הסלון פועל כוח אחיד דומה, אך בכיוון הפוך – כלפי מעלה (ניתן גם להניח שהמעבר בין שני הכוחות רציף). שדה כוח כזה אינו משמר. דוגמה למסילה המראה שהכוח לא משמר:

  1. מתחילים כאשר הגוף נמצא בגובה התקרה של הסלון, אך מחוץ לסלון. לוקחים את הגוף ומורידים אותו לרצפה מחוץ לסלון (הכוח מבצע על הגוף עבודה "חיובית").
  2. מביאים את הגוף לתוך הסלון מבלי לשנות את גובהו (כך שלא מתבצעת עבודה בשלב זה).
  3. בסלון מעלים את הגוף לתקרה (כך ששוב מתבצעת עליו עבודה "חיובית").
  4. מוציאים את הגוף החוצה (שוב, באופן שלא תתבצע עליו עבודה).

מתקבלת מסילה שסך כל העבודה על גוף הנע בה הוא חיובי. היה אפשר לבנות מתקן שינצל כוח שכזה כדי "לשאוב" עוד ועוד אנרגיה מהמערכת, ללא התערבות כלל (אפשר למשל לחבר את הגוף למוט קשיח, כך שהוא ינוע במעגל שחציו בתוך הסלון וחציו מחוץ לסלון. בהשפעת הכוח, הגוף היה הולך ומאיץ בלי סוף).

כוחות לא משמרים כאלו אינם מצויים בטבע.

שימור מקומי לעומת שימור גלובלי

אם מתירים הגדרת כוחות רק על חלק מהמרחב (אפשר לדמיין שבמרחב יש "חורים", שבהם הכוח לא מוגדר), נוצרים כוחות משמרים באופן מקומי (משמרים לוקאלית), אף על פי שהם אינם משמרים במובן הרגיל (משמרים גלובלית).

כלומר, לכל נקודה יש סביבה קטנה, כך שאם מגבילים את התנועות האפשריות לסביבה זו, הכוח הוא משמר, כלומר העבודה שהוא מבצע על כל מסילה סגורה (בסביבה זו) היא אפס; אבל ישנן גם מסילות אחרות, שאינן "כלואות" באותה סביבה, והעבודה עליהן אינה אפס.

נקודת המבט פה היא מתמטית – בוחנים את כל שדות הכוח החלקים שאפשר לדמיין, מבלי לשאול האם כוחות אלה באמת מופיעים בטבע. למעשה, אין חשיבות מיוחדת לכך שמדובר בכוחות – ניתן היה להשתמש בשדות וקטוריים כלשהם; מושג העבודה מתחלף אז באינטגרל מסילתי. מתברר, ששדות וקטוריים כאלו, שהם משמרים מקומית אבל לא משמרים גלובלית, מכילים מידע רב על ה"חורים" של המרחב. מידע זה, המתומצת בחבורת הקוהומולוגיה של המרחב, הוא בעל ערך מיוחד בטופולוגיה אלגברית ובגאומטריה דיפרנציאלית, משום שהוא מאפשר לזהות את החורים מתוך המרחב, מקום שאי אפשר לראות אותם באופן ישיר.

קישורים חיצוניים

Read other articles:

Reginald Birkett (pemain sepak bola) Informasi pribadiNama lengkap Reginald Halsey BirkettTanggal lahir (1849-03-28)28 Maret 1849Tempat lahir London, InggrisTanggal meninggal 30 Juni 1898(1898-06-30) (umur 49)Posisi bermain Penjaga gawangKarier senior*Tahun Tim Tampil (Gol) Clapham Rovers Tim nasional1879 Inggris 1 (0) * Penampilan dan gol di klub senior hanya dihitung dari liga domestik Reginald Halsey Birkett (28 Maret 1849 – 30 Juni 1898) adalah seorang pemain sepak b...

 

 

Clemens August Graf von GalenNama dalam bahasa asli(de) Clemens August Graf von Galen BiografiKelahiran16 Maret 1878 Dinklage Kematian22 Maret 1946 (68 tahun)Münster Penyebab kematianPeritonitis Tempat pemakamanKatedral Münster   Kardinal 18 Februari 1946 –   Roman Catholic Bishop of Münster (en) 5 September 1933 – ← Johannes Poggenburg (en) – Michael Keller (en) → Keuskupan: Keuskupan Münster Data pribadiAgamaGereja Kato...

 

 

Les noms de personnes en Espagne se composent, comme dans la plupart des pays hispanophones, d'un prénom (nombre) et de deux noms de famille (apellidos) : traditionnellement le premier nom de famille du père (patronyme), suivi du premier de la mère, même si, en Espagne, la loi sur l'égalité des sexes de 1999, autorise désormais n'importe quel ordre[1]. Dans un contexte informel, on utilise le plus souvent le prénom suivi du premier apellido. Le nom au complet sert dans le cadre j...

كأس السوبر الإفريقي 1998 نادي الرجاء الرياضي النجم الرياضي الساحلي 2 2 فاز النجم الرياضي الساحلي بركلات الترجيح (4–2)التاريخ15 مارس 1998 (1998-03-15)[1]الملعبالدار البيضاء  → 1997 1999 ← كأس السوبر الإفريقي 1998 هي النسخة الخامسة من البطولة وتوج بها النجم الرياضي الساحلي بطل ...

 

 

English bishop For other people named John White, see John White (disambiguation). The Right ReverendJohn WhiteBishop of WinchesterChurchRoman CatholicAppointed6 July 1556Term ended1559PredecessorStephen GardinerSuccessorRobert HorneOrdersConsecration1 April 1554by Edmund BonnerPersonal detailsBorn1510Farnham, Hampshire, EnglandDied1560 (aged 49–50)Previous post(s)Bishop of Lincoln (1554–1556) John White (1510 – 12 January 1560) was a Headmaster and Warden of Winchester Co...

 

 

Medication TegaserodClinical dataTrade namesZelnorm, ZelmacAHFS/Drugs.comMonographPregnancycategory AU: B3 Routes ofadministrationOralATC codeA06AX06 (WHO) Legal statusLegal status US: Usage requires authorization from the FDA Pharmacokinetic dataBioavailability10%Protein binding98%MetabolismGastric and hepaticElimination half-life11 ± 5 hoursExcretionFecal and renalIdentifiers IUPAC name (2E)-2-[(5-Methoxy-1H-indol-3-yl)methylene]-N-pentylhydrazinecarboximidamide C...

Traditional bull racing festival in Indonesia Karapan sapi Kerrabhân sapèKarapan sapi festivities on Madura, 1932First playedIndonesia (Madura)CharacteristicsTeam members1-2 playersTypeOutdoorPresenceOlympicNone A race in 1999 Karapan sapi (Madurese: Kerrabhân sapè) is a traditional bull racing festival on the Indonesian island of Madura.[1] Every year from about July through October, local bulls are yoked to wooden skids and raced for 130 meters (430 ft), similar to a chario...

 

 

Questa voce o sezione sull'argomento calciatori portoghesi non cita le fonti necessarie o quelle presenti sono insufficienti. Puoi migliorare questa voce aggiungendo citazioni da fonti attendibili secondo le linee guida sull'uso delle fonti. Segui i suggerimenti del progetto di riferimento. Jorge Cadete Nazionalità  Portogallo Altezza 177 cm Peso 65 kg Calcio Ruolo Attaccante Termine carriera 2005 Carriera Giovanili 1983-1984Académica Santarém1984-1987 Sporting Lisbona Squa...

 

 

保良局馬錦明夫人章馥仙中學Po Leung Kuk Mrs.Ma-Cheung Fook Sien College翻漆後的校舍東北面(2022年3月)地址 香港新界離島區大嶼山東涌富東邨类型津貼中學宗教背景無隶属保良局创办日期1997年学区香港離島區東涌校長柯玉琼女士副校长鄭健華先生,劉俊偉先生助理校长梁煥儀女士职员人数56人年级中一至中六学生人数約700人,24個班別校訓愛、敬、勤、誠校歌保良局屬下校歌�...

土库曼斯坦总统土库曼斯坦国徽土库曼斯坦总统旗現任谢尔达尔·别尔德穆哈梅多夫自2022年3月19日官邸阿什哈巴德总统府(Oguzkhan Presidential Palace)機關所在地阿什哈巴德任命者直接选举任期7年,可连选连任首任萨帕尔穆拉特·尼亚佐夫设立1991年10月27日 土库曼斯坦土库曼斯坦政府与政治 国家政府 土库曼斯坦宪法 国旗 国徽 国歌 立法機關(英语:National Council of Turkmenistan) ...

 

 

Questa voce sull'argomento stagioni delle società calcistiche italiane è solo un abbozzo. Contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia. Segui i suggerimenti del progetto di riferimento. Voce principale: Associazione Sportiva Portuense. Società Polisportiva PortuenseStagione 1933-1934Sport calcio Squadra Portuense Prima Divisione5º posto nel girone D. 1932-1933 1934-1935 Si invita a seguire il modello di voce Questa pagina raccoglie i dati riguardanti la Societ...

 

 

此条目序言章节没有充分总结全文内容要点。 (2019年3月21日)请考虑扩充序言,清晰概述条目所有重點。请在条目的讨论页讨论此问题。 哈萨克斯坦總統哈薩克總統旗現任Қасым-Жомарт Кемелұлы Тоқаев卡瑟姆若马尔特·托卡耶夫自2019年3月20日在任任期7年首任努尔苏丹·纳扎尔巴耶夫设立1990年4月24日(哈薩克蘇維埃社會主義共和國總統) 哈萨克斯坦 哈萨克斯坦政府...

Album by Goran Bregović This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Time of the Gypsies / Kuduz – Soundtrack – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (December 2009) (Learn how and when to remove this message) Time of the Gypsies / Kuduz - SoundtrackSoundtrack album by Goran BregovićReleased...

 

 

Sierra Leonean footballer Not to be confused with Amadou Bagayoko. Amadou Bakayoko Bakayoko training with Dundee in 2023Personal informationFull name Amadou Bakayoko[1]Date of birth (1996-01-01) 1 January 1996 (age 28)[2]Place of birth Kenema, Sierra LeoneHeight 1.93 m (6 ft 4 in)[2]Position(s) ForwardTeam informationCurrent team Forest Green RoversNumber 21Youth career0000–2013 WalsallSenior career*Years Team Apps (Gls)2013–2018 Walsall 93 (9)2...

 

 

Ethnic group in Albania Ethnic group Serbo-Montenegrin minority in Albania Total population508 (2011 census)Regions with significant populationsShkodër CountyLanguagesAlbanian and Serbian/MontenegrinReligionOrthodox Christianity, Sunni Islam Part of a series onSerbs Native Serbia Vojvodina Kosovo and Metohija Bosnia and Herzegovina Montenegro Croatia North Macedonia Romania Hungary Albania Bulgaria Slovenia DiasporaEurope Austria Azerbaijan Belarus France Germany Greece Italy Luxembourg Norw...

Township in Essex County, New Jersey, US Township in New Jersey, United StatesIrvington, New JerseyTownshipMorrell High School LogoInteractive map of IrvingtonIrvingtonLocation in Essex CountyShow map of Essex County, New JerseyIrvingtonLocation in New JerseyShow map of New JerseyIrvingtonLocation in the United StatesShow map of the United StatesCoordinates: 40°43′26″N 74°13′57″W / 40.723859°N 74.232522°W / 40.723859; -74.232522[1][2]Country...

 

 

Boneless chicken pieces cooked in a tandoor Not to be confused with chicken tikka masala, which is a curry that uses pieces of chicken tikka. Chicken tikkaChicken tikkaCourseHors d'oeuvreRegion or stateIndian subcontinentAssociated cuisineIndia, Bangladesh, PakistanServing temperatureHotMain ingredientsChicken, curd (yogurt), red chili powder, ginger and garlic paste, lemon juiceVariationsPaneer tikka Cookbook: Chicken tikka  Media: Chicken tikka Chicken tikka is a chicken dish popul...

 

 

Munsyi HafizMohammed Abdul KarimCIE CVOPotret Abdul Karim, lukisan karya Rudolf Swoboda, 1888 Sekretaris Pribadi Ratu Victoria berkebangsaan IndiaMasa jabatan1892–1901 Informasi pribadiLahir1863Lalatpur dekat Jhansi, India BritaniaMeninggalApril 1909 (usia 46)Agra, India BritaniaKebangsaanIndia (rakyat jajahan Britania)Suami/istriRashidan KarimSunting kotak info • L • B Hafiz Mohammed Abdul Karim CIE, CVO (1863 – April 1909) (Hindi: हाफ़िज़ मुहम्�...

American actress This article has multiple issues. Please help improve it or discuss these issues on the talk page. (Learn how and when to remove these template messages) This biography of a living person needs additional citations for verification. Please help by adding reliable sources. Contentious material about living persons that is unsourced or poorly sourced must be removed immediately from the article and its talk page, especially if potentially libelous.Find sources: Allison Ald...

 

 

Connection between the fields of Genocide and warfare Part of a series onGenocide Issues List of genocides Genocides in history Effects on youth Denial Massacre Rape Incitement In relation to Colonialism / War Perpetrators, victims, and bystanders Prevention Psychology Recognition politics Risk factors Stages Types Anti-Indigenous Cultural Utilitarian Studies Outline Bibliography Related topics Compulsory sterilization Democide Ethnic cleansing Ethnocide Forced assimilation Categoryv...