בתורת החבורות, חבורת הייזנברג היא חבורה מעל חוג חילופי, הבנויה מהמטריצות המשולשיות העליונות בגודל ${\displaystyle 3\times 3}$, עם אחדות באלכסון, יחד עם פעולת כפל מטריצות.

החבורה נקראת על שמו של הפיזיקאי הגרמני ורנר הייזנברג. לחבורה קשרים חשובים למכניקה קוונטית, ובעזרתה ניתן לנסח את משפט סטון-פון נוימן בשפה של תורת ההצגות. מעל שדות סופיים, מהווה חבורת הייזנברג חבורת-p בעלת תכונות מעניינות, ועוזרת בבחקר תכונות של חבורות-p.

יהי ${\displaystyle R}$ חוג חילופי. חבורת הייזנברג (מממד 3) מעל החוג ${\displaystyle R}$ היא החבורה שאיבריה הם המטריצות: ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{pmatrix}}}$, כאשר ${\displaystyle a,b,c\in R}$. הפעולה בחבורה היא כפל מטריצות, ואיבר היחידה שלה הוא מטריצת היחידה. המבנה הנתון אכן מהווה חבורה, שכן הוא סגור לכפל: ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&a'&c'\\0&1&b'\\0&0&1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&a+a'&c+c'+ab'\\0&1&b+b'\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\,}$

ולכל איבר יש איבר הפיך (ללא הדרישה שהאיברים ${\displaystyle a,b,c\in R}$ יהיו הפיכים בעצמם):${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}1&-a&ab-c\\0&1&-b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\,}$.

חבורת הייזנברג מסדר ${\displaystyle 2n+1}$ היא: ${\displaystyle H_{2n+1}(R)={\Bigg \{}{\begin{pmatrix}1&a_{1}&a_{2}&\cdots &\cdots &a_{n+1}\\0&1&0&\cdots &0&a_{n+2}\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &0&a_{2n}\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &1&a_{2n+1}\\0&\cdots &\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}\ {\Bigg |}\ a_{1},\dots ,a_{2n+1}\in R{\Bigg \}}}$.

כאשר החוג ${\displaystyle R}$ הוא שדה המספרים הממשיים ${\displaystyle \mathbb {R} }$, מתקבלת חבורת הייזנברג הממשית, או חבורת הייזנברג הרציפה.

במקרה זה, מתקבלת חבורת לי נילפוטנטית מסדר 3. לפי משפט סטון-פון נוימן, לחבורה זו יש הצגה יחידה עליה המרכז פועל כמו קרקטר.

כאשר החוג ${\displaystyle R}$ הוא חוג המספרים השלמים ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, מתקבלת חבורת הייזנברג הדיסקרטית. זוהי חבורה נילפוטנטית חופשית ממחלקה 2, ונוצרת על ידי:${\displaystyle x={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}},\ \ y={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

לחבורה הייצוג הבא: ${\displaystyle <x,y,z|z_{}^{}=[x,y],\ [x,z]=e,\ [y,z]=e>}$, כאשר ${\displaystyle x,y}$ הם כדלעיל ו-${\displaystyle z=xyx^{-1}y^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$.

במקרה זה, האיבר ${\displaystyle z}$ יוצר את המרכז של החברה, וכל איבר שלה ניתן לכתוב מהצורה${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}=y^{b}z^{c}x^{a}\,}$.

בתור חבורה נילפוטנטית נוצרת סופית, לחבורת הייזנברג הדיסקרטית גידול פולינומי וממד גלפנד-קירילוב שלה הוא 4. מתברר כי ביחס לכל קבוצת יוצרים סופית, טור הילברט של חבורת הייזנברג הוא פונקציה רציונלית (היינו, מנה של שני פולינומים במקדמים שלמים). תופעה זו, המכונה 'פאן-רציונליות', הוכחה על ידי דוצ'ין ושפירו^[1].

חבורת הייזנברג מעל השדה הסופי ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ היא מסדר ${\displaystyle p^{3}}$ ומאקספוננט ${\displaystyle p}$. ניתן לתאר אותה על ידי היחסים הבאים:

${\displaystyle z=[x,y],\ x^{p}=y^{p}=z^{p}=1,\ [x,z]=e,\ [y,z]=e}$

חבורות אלו הן חבורות מאוד מיוחדות^(אנ') - חבורת-p בה המרכז ${\displaystyle C}$ איזומורפי ל-${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ וחבורת המנה ${\displaystyle G/C}$ היא אבלית וכל איבר לא טריוויאלי בה הוא מסדר ${\displaystyle p}$.

במקרה של ${\displaystyle p=2}$, מתקבלת החבורה הדיהדרלית ${\displaystyle D_{4}}$.

לחבורת הייזנברג הממשית ניתן להתאים את אלגברת לי המכילה את המטריצות הבאות:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&a&b\\0&0&c\\0&0&0\\\end{pmatrix}}}$,

עם הבסיס הבא:

${\displaystyle X={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}};\quad Y={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\\\end{pmatrix}};\quad Z={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}}$

איברי הבסיס מקיימים את היחסים הבאים, המזכירים את יחסי החילוף הקנוניים במכניקה קוונטית:

${\displaystyle [X,Y]=Z;\quad [X,Z]=0;\quad [Y,Z]=0}$

ההתאמה בין אלגברת לי לחבורת הייזנברג, בעזרת פונקציית האקספוננט, היא הפיכה.

• חבורת הייזנברג, באתר MathWorld (באנגלית)