זנגה החל את הקריירה שלו בנוער של אינטר, אך נשלח לשחק מספר שנים בליגות הנמוכות, לפני שחזר לקבוצה ב-1982. שנה לאחר מכן הוא כבר היה השוער הראשון של אינטר, תפקיד אותו מילא במשך אחת עשרה שנים. עם אינטר הוא זכה באליפות ("סקודטו") ב-1988–1989 ופעמיים בגביע אופ"א. הזכייה השנייה בגביע אופ"א הייתה ב-1994, בעונתו האחרונה במועדון.
זנגה היה שוערה הראשון של נבחרת איטליה, המארחת במונדיאל 1990. הוא הצטיין בטורניר ואיטליה סיימה אותו במקום השלישי. זנגה שבר את שיא הדקות הרצופות של שער נקי במונדיאל 1990, שהחזיק לפניו פיטר שילטון האנגלי. שיאו עומד על 518 דקות, קצת פחות משישה משחקים.
לאחר שעזב את אינטר שיחק זנגה מספר שנים נוספות באיטליה. לאחר מכן עבר לשחק ב-MLS שבארצות הברית. ב-1997 חזר לאיטליה כדי לשחק באופרת סבון, בה כיכבה גם אשתו. ב-1999 שב לשמש מאמן-שחקן ב-MLS, בהתחילו בכך את קריירת האימון שלו.
בעונת 2006–2007 הוא אימן את גזיאנטפספור הטורקית. לאחר תקופה קצרה באיחוד האמירויות, שם אימן את אל-אין המקומית, חזר לליגה הרומנית (הפעם בדינאמו בוקרשט) וקיבל את ההזדמנות לאמן במולדתו. בעונת 2008–2009 הוא אימן את קטאניה והוביל אותה לעונה הטובה בתולדותיה, ללא מאבקי הישרדות. בסיום העונה החליט זנגה להתקדם לקבוצה חזקה יותר ובחר ביריבה השנואה מסיציליה, פאלרמו. פתיחת עונה לא טובה, גרמה לפיטוריו, אך הסגל שבנה הקדים את יובנטוס ורק במחזור הסיום הפסיד לסמפדוריה (של אוהד אינטר אחר, אנטוניו קאסנו) את הכרטיס לליגת האלופות. אף על פי שלא הסתיר בעבר את רצונו לאמן את אינטר, ולמרות היותו סמל ענק בעיני האוהדים (שתגובתם למראו של זנגה בחגיגות המאה של המועדון, במרץ 2008, אמרה הכל), חוסר הסבלנות של נשיא פאלרמו ופיטוריו מהמועדון היו בעוכריו כאשר אינטר חיפשו מאמן בסיום עונת הטרבל בקיץ 2010. רפאל בניטס נבחר לתפקיד וזנגה המשיך את עבודתו בסעודיה, בקבוצת א-נסר. לאחר חצי שנה עבר לקבוצת א-נסר מאיחוד האמירויות, בהמשך עבר לאל-ג'זירה מאותה הליגה. ביוני 2015 חזר לאיטליה לקבוצת סמפדוריה ופוטר מתפקידו לאחר כמה חודשים. לאחר חודש חזר למזרח התיכון לקבוצת אל שבאב לשלושה חודשים. ביולי 2016 מונה למאמנה של וולברהמפטון וונדררס מהצ'מפיונשיפ, ממנה פוטר לאחר שלושה חודשים. בדצמבר 2017 מונה למאמן קרוטונה.