הסהרון של היפוקרטס

הסהרון של היפוקרטס

הסהרון של היפוקרטס הוא סהרון הקרוי על שמו של היפוקרטס מכיוס, שחקר אותו. סהרון זה בנוי מקשתות של שני מעגלים, שקוטרו של המעגל הקטן מביניהם משמש כיתר במשולש ישר-זווית שניצביו הם רדיוסים במעגל הגדול (יתר זה הוא המיתר המשותף לשתי הקשתות). לחלופין זהו סהרון שקשתו האחת היא בגודל 90 מעלות (רבע מעגל), וקשתו האחרת היא בגודל 180 מעלות (חצי מעגל). זו הצורה הראשונה שגבולותיה אינם מורכבים מקווים ישרים בלבד, ששטחה חושב מתמטית.[1]

היסטוריה

במאה ה-5 לפנה"ס ביקש המתמטיקאי והאסטרונום היווני היפוקרטס מכיוס לפתור את אחת הבעיות הגאומטריות של ימי קדם – תרבוע העיגול, כלומר לבנות בסרגל ובמחוגה בלבד ריבוע השווה בשטחו לשטח עיגול נתון. בתוך כך הוא הוכיח כי סהרון זה שווה בשטחו לשטח המשולש המוזכר לעיל בהגדרתו.

המתמטיקאי וההיסטוריון הבריטי תומאס הית' שיער כי בהוכחתו זו של היפוקרטס, הוא כנראה היה גם הראשון להוכיח כי שטחו של עיגול הוא ביחס ישר לריבוע קוטרו.

חיבורו של היפוקרטס, שבו הופיעה התוצאה הזו, אבד, איך ייתכן שהוא שימש כבסיס לספרו של אוקלידס – "יסודות". ההוכחה נשמרה בחיבורו של אֵוּדֶמוֹס מרודוס (אנ') – "היסטוריה של הגאומטריה" – שגם הוא לא שרד, אך הוזכר בקטעים בהערותיו של סימפליקיוס מקליקיה (אנ') על חיבורו של אריסטו – "פיזיקה".[2]

ב־1882 הוכיח המתמטיקאי הגרמני פרדיננד לינדמן כי בעיית תרבוע העיגול אינה פתירה בסרגל ובמחוגה.

הוכחה

את התוצאה שהיפוקרטס הגיע אליה ניתן להוכיח כדלקמן: מרכז המעגל שהקשת AEB מונחת עליו הוא הנקודה D, שהיא אמצע היתר של המשולש ישר-זווית ABO. כיוון שכך, אורך הקוטר AC של המעגל הגדול ABC הוא (לפי משפט פיתגורס) פעמים הקוטר של המעגל הקטן. שעליו מונחת הקשת AEB. לפיכך שטח העיגול הקטן הוא חצי משטח העיגול הגדול, ולכן שטח רבע העיגול AFBOA שווה לשטח חצי העיגול AEBDA. גריעת הצורה AFBDA מרבע העיגול נותנת את המשולש ABO וגריעת אותה צורה מחצי העיגול נותנת את הסהרון. כיוון שהמשולש והסהרון נוצרים שניהם באמצעות גריעת אותה צורה מצורות שוות בשטחן, הם שניהם בעלי אותו שטח.[2][3]

הכללה

הסהרונים של אל-היית'ם: סכום שטחי הסהרונים שווה לשטח המשולש שעליו הם בנויים

באמצעות הוכחה דומה לזו שלעיל הראה המתמטיקאי הערבי אבן אל-היית'ם שכאשר יוצרים שני סהרונים על ניצבים של משולש ישר-זווית, כך שהקשת החיצונית של כל סהרון היא חצי מעגל שהניצב הוא קוטרו והקשת הפנימית היא חלק מהמעגל החוסם של המשולש, סכום שטחי הסהרונים שווה לשטח המשולש. סהרונים שנוצרים בדרך זו ידועים בשם הסהרונים של אל-היית'ם.[4] הסהרון של היפוקרטס הוא מקרה פרטי של הכללה זו, כאשר המשולש ישר הזווית הוא שווה-שוקיים.

היפוקרטס מכיוס הוכיח שהסהרון של היפוקרטס ועוד שני סהרונים מיוחדים ניתנים לתרבוע בסרגל ומחוגה. ב-1766 המתמטיקאי הפיני Daniel Wijnquist, בהתבססו על דניאל ברנולי, הציג חמישה הסהרונים הניתנים לתרבוע, בהשלימו את הרשימה של היפוקרטס מכיוס. ב-1771 לאונרד אוילר הציג גישה כללית לבעיה. ב-1933 וב-1947 הוכיחו ניקולאי צ'בוטריוב (אנ') ותלמידו אנטולי דורונדוב, באמצעות תורת גלואה, שחמישה סהרונים אלה הם היחידים הניתנים לתרבוע.[5] את חמשת הסהרונים הללו ניתן לאפיין לפי היחס בין הזוויות של הקשתות היוצרות אותם. בסהרון של היפוקרטס יחס זה הוא 1:2 (הקשת הפנימית היא רבע מעגל והקשת החיצונית היא חצי מעגל). שני הסהרונים הנוספים שהיפוקרטס מצא כניתנים לתרבוע הם ביחסים 2:3 (זוויות של בערך 107.2°, 160.9°) ו-1:3 (זוויות של בערך 68.5°, 205.6°). שני הסהרונים הנוספים הניתנים לתרבוע הם ביחס של 1:5 (זוויות של בערך 46.9°, 234.4°) ו-3:5 (זוויות של בערך 100.8°, 168.0°).[6]

ראו גם

קישורים חיצוניים

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא הסהרון של היפוקרטס בוויקישיתוף

הערות שוליים

  1. ^ Carl B. Boyer, A History of Mathematics, John Wiley & sons, 1968, p. 73
  2. ^ 1 2 Heath, Thomas L. (2003), A Manual of Greek Mathematics, Courier Dover Publications, pp. 121–132, ISBN 0-486-43231-9.
  3. ^ Bunt, Lucas Nicolaas Hendrik; Jones, Phillip S.; Bedient, Jack D. (1988), "4-2 Hippocrates of Chios and the quadrature of lunes", The Historical Roots of Elementary Mathematics, Courier Dover Publications, pp. 90–91, ISBN 0-486-25563-8.
  4. ^ Hippocrates' Squaring of the Lune, cut-the-knot
  5. ^ הסהרון של היפוקרטס, באתר MathWorld (באנגלית)
  6. ^ M. M. Postnikov, The Problem of Squarable Lunes, The American Mathematical Monthly, August-September 2000, Vol. 107, No. 7, pp. 645-651, in JSTOR