המחט של בופון

המחט המסומנת באות a חוצה את הפס, בעוד מחט b מצויה בין שני פסים

במתמטיקה, בעיית המחט של בופון היא שאלה שהוצגה לראשונה על ידי ז'ורז'-לואי לקלר דה בופון ב-1733:

נניח שיש לנו רצפה עשויה רצועות מקבילות של עץ, כל אחת ברוחב זהה, ונפיל מחט על הרצפה. מה ההסתברות כי המחט תנוח על הקטע שבין שתי רצועות?

בעיה זו הייתה הדוגמה הראשונה בגאומטריה הסתברותית. באמצעות הפתרון לבעיה ניתן לחשב את פאי בשיטת מונטה קרלו, אם כי ברור למדי שבופון עצמו לא ערך ניסויים מעין זה.

פתרון

ניסוח הבעיה

נתונה מחט באורך $l$ , אשר נופלת על משטח בעל קווים מקבילים במרחק $l\leq d$ , מהי ההסתברות כי המחט תחצה את הקו?

פתרון

יהי $x$ המרחק בין מרכז המחט לקו הקרוב ביותר, תהי $\theta$ הזווית החדה שבין המחט לקו.

המחט תעבור את הקו אם יתקיים: $x\leq {\frac {l}{2}}sin\theta$

למחט קטנה, כאשר $d>l$ יתקיים^[1]: $P=\int _{0}^{2\pi }{\frac {l\left|cos\theta \right|}{d}}{\frac {d\theta }{2\pi }}$ ובחישוב האינטגרל נקבל: $P={\frac {2l}{\pi d}}$

במקרה ש $d=l$ : $P={\frac {2}{\pi }}=0.636619...$

פתרון נוסף

נסמן ב-X את המשתנה המקרי שסופר את מספר הקוים שמחט באורך 1 תחתוך. נשים לב ש-X תמיד (למעט מקרים בהסתברות אפס) שווה ל-1 כשהמחט חותכת קו, ו-0 אחרת. לכן אנחנו רוצים לחשב את [E[X (נסמן ב-e).

נשים לב שמלינאריות התוחלת, אם נזרוק מחט באורך l, אז מספר הקווים שהיא תחתוך בתוחלת הוא le, ואם נזרוק כמה מחטים (אפילו אם הן מחוברות, שכן התוחלת ליניארית גם כאשר המשתנים תלויים) תוחלת מספר הפעמים שהן יחתכו קווים היא סכום התוחלות שלהם. מכך נובע שלכל קו המורכב ממספר קטעים שאורכו הכולל l, תוחלת מספר הקווים שיחתכו הוא le.

כעת נקח סדרה של מצולעים משוכללים שהיקפם שווה ל-2π, ומספר צלעותיהם שואף לאינסוף. אז הם שואפים למעגל שהיקפו 2π, ומרציפות גם תוחלת מספר הקווים שהמעגל יחתוך היא 2π.

מצד שני, זה מעגל שקוטרו 1, ולכן הוא תמיד יחתוך את הקווים בדיוק פעמיים. מכאן נובע π=2e, ולכן e=2/π.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא המחט של בופון בוויקישיתוף

גדי אלכסנדרוביץ', המחט של בופון, באתר "לא מדויק", 14 במרץ 2014
Buffon: did he actually throw sticks? E. Behrends and J. Buescu, EMS Newsletter, June 2014.
המחט של בופון, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

^ Buffon's Needle Problem באתר וולפרם אלפא Math World.

Read other articles:

Juncus articulatus

Species of grass Juncus articulatus Conservation status Least Concern (IUCN 3.1)[1] Scientific classification Kingdom: Plantae Clade: Tracheophytes Clade: Angiosperms Clade: Monocots Clade: Commelinids Order: Poales Family: Juncaceae Genus: Juncus Species: J. articulatus Binomial name Juncus articulatusL. Synonyms Juncus hylanderi (Hämet-Ahti) Tzvelev & Glazkova Juncus articulatus is a flowering plant species in the rush family Juncaceae. It is known by the common name ...

فرط ضغط الدم البابي

فرط ضغط الدم البابي الوريد البابي وروافده.الوريد البابي وروافده. معلومات عامة الاختصاص طب الجهاز الهضمي، وجراحة الجهاز الهضمي الأسباب الأسباب خثرة الوريد البابي، وداء البلهارسيات، وتشمع الكبد، واعتلال عضلة القلب المقيد، والتهاب التامور المظهر ال...

1942 United States Senate election in Tennessee

1942 United States Senate election in Tennessee ← 1938 November 3, 1942 1948 → Nominee Tom Stewart F. Todd Meacham John Randolph Neal Jr. Party Democratic Republican Independent Popular vote 109,881 34,324 15,317 Percentage 68.88% 21.52% 9.60% Senator before election Tom Stewart Democratic Elected Senator Tom Stewart Democratic Elections in Tennessee Federal government U.S. President 1796 1800 1804 1808 1812 1816 1820 1824 1828 1832 1836 1840 1844 1848 1852 ...

Somatic cell

Any biological cell forming the body of an organism See also: Somatic (biology) In cellular biology, a somatic cell (from Ancient Greek σῶμα (sôma) 'body'), or vegetal cell, is any biological cell forming the body of a multicellular organism other than a gamete, germ cell, gametocyte or undifferentiated stem cell.[1] Somatic cells compose the body of an organism and divide through mitosis. In contrast, gametes derive from meiosis within the germ cells of the germli...

Anna Smashnova

Anna Smashnovaאנה סמשנובה Anna Smashnova al servizio Nazionalità Israele Altezza 157 cm Peso 53 kg Tennis Termine carriera luglio 2007 Carriera Singolare1 Vittorie/sconfitte 401–304 Titoli vinti 12 WTA, 7 ITF Miglior ranking 15º (3 febbraio 2003) Risultati nei tornei del Grande Slam Australian Open 3T (1995, 2003, 2005) Roland Garros 4T (1995, 1998) Wimbledon 3T (2000) US Open 3T (1994) Altri tornei Giochi olimpici 1T (2004) Doppio1 Vittorie/...

Новотитаровское сельское поселение

Сельское поселение России (МО 2-го уровня)Новотитаровское сельское поселение Флаг[d] Герб 45°14′09″ с. ш. 38°58′16″ в. д.HGЯO Страна Россия Субъект РФ Краснодарский край Район Динской Включает 4 населённых пункта Адм. центр Новотитаровская Глава сельского пос�...

土库曼斯坦总统

土库曼斯坦总统土库曼斯坦国徽土库曼斯坦总统旗現任谢尔达尔·别尔德穆哈梅多夫自2022年3月19日官邸阿什哈巴德总统府（Oguzkhan Presidential Palace）機關所在地阿什哈巴德任命者直接选举任期7年，可连选连任首任萨帕尔穆拉特·尼亚佐夫设立1991年10月27日土库曼斯坦土库曼斯坦政府与政治国家政府土库曼斯坦宪法国旗国徽国歌立法機關（英语：National Council of Turkmenistan） ...

Cyfarthfa Ironworks

Cyfarthfa Ironworks in 1894 The Cyfarthfa Ironworks were major 18th- and 19th-century ironworks in Cyfarthfa, on the north-western edge of Merthyr Tydfil, in South West Wales. The beginning The Cyfarthfa works were begun in 1765 by Anthony Bacon (by then a merchant in London), who in that year with William Brownrigg, a fellow native of Whitehaven, Cumberland, leased the right to mine in a tract of 4,000 acres (16 km2) land on the west side of the river Taff at Merthyr Tydfil.[1]...

SD Andayani

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada Februari 2023. SD AndayaniSekolah Dasar AndayaniInformasiJenisSwastaNomor Pokok Sekolah Nasional20103920Jumlah siswa51 2010StatusAktifAlamatLokasiJl. Komodor Udara Halim Perdana Kusuma, Jakarta Timur, DKI Jakarta, IndonesiaSitus webLaman di Kementerian Pen...

Sertanense F.C.

Portuguese association football club Football clubFull nameSertanense Futebol ClubeFoundedFebruary 17, 1934; 90 years ago (February 17, 1934)GroundDr. Marques dos Santos, Sertã, PortugalCapacity4,500ChairmanPaulo FarinhaManagerGonçalo MonteiroLeagueCampeonato de Portugal2015–16Relegation groups, Serie F, 4thWebsiteClub website Home colours Away colours Sertanense Futebol Clube (Portuguese pronunciation: [sɨɾtɐˈnẽsɨ]), formerly Sertanense Foot-ball Club, is a Po...

يوكي أيزو

هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (سبتمبر 2021) يوكي أيزو (باليابانية: 会津雄生)‏ معلومات شخصية الميلاد 1 أغسطس 1996 (العمر 27 سنة)طوكيو الطول 1.73 م (5 قدم 8 بوصة) مركز اللعب مدافع الجنسية اليابان ...

Somerset Hills

The Somerset Hills is the northern region of Somerset County, New Jersey including the townships of Bedminster, Bernards Township, Bernardsville, Far Hills boro, and Peapack & Gladstone. The Somerset Hills is known as the northern region of Somerset County located in the U.S. state of New Jersey and includes the municipalities of Bedminster, Bernardsville, Bernards Township, Far Hills, and Peapack-Gladstone.[1] The southwestern Morris County municipalities of the Chesters (Borough...

Connacht Irish

Irish language dialect This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Connacht Irish – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (August 2023) (Learn how and when to remove this message) This article uses the IPA to transcribe Irish. Readers familiar with other conventions may wish to see Help:IPA/Irish f...

Languages of Chile

You can help expand this article with text translated from the corresponding article in Spanish. (August 2021) Click [show] for important translation instructions. Machine translation, like DeepL or Google Translate, is a useful starting point for translations, but translators must revise errors as necessary and confirm that the translation is accurate, rather than simply copy-pasting machine-translated text into the English Wikipedia. Consider adding a topic to this template: there are...

Katedral Orleans

Katedral OrléansKatedral Salib Sucibahasa Prancis: Cathédrale Sainte-Croix d'OrléansKatedral OrléansLokasiOrléansNegaraPrancisDenominasiGereja Katolik RomaArsitekturStatusKatedralStatus fungsionalAktifAdministrasiKeuskupanKeuskupan Orléans Katedral Orleans (Prancis: Basilique Cathédrale Sainte-Croix d'Orléans)[1] adalah sebuah gereja katedral Katolik yang terletak di kota Orléans, Prancis. Katedral ini adalah tempat kedudukan Keuskupan Orléans. Awalnya dibangun dari tahu...

Bảng xếp hạng bóng đá nam FIFA

Bài này viết về bảng xếp hạng của nam. Đối với bảng xếp hạng của nữ, xem Bảng xếp hạng bóng đá nữ FIFA. FIFA World Rankings tính đến ngày 4 tháng 4 năm 2024.[1] Thứ hạng 20 đội bóng hàng đầu tính đến ngày 4 tháng 4 năm 2024[1] Hạng Thay đổi Đội tuyển Điểm 1 Argentina 1858 2 Pháp 1840.59 3 1 Bỉ 1795.23 4 1 Anh 1794.9 5 Brasil 1788.65 6 1 Bồ Đào Nha 1748.11 7...

中國香港棍網球總會

本條目存在以下問題，請協助改善本條目或在討論頁針對議題發表看法。此條目使用外部链接的方式可能不符合维基百科的方针或指引，或致使內文成為链接農場。 (2017年5月17日)請協助清理過度與不適當的外部連結，并将有用的链接移到参考文献中。详情请参见条目的讨论页。此條目的语调或风格或許不合百科全書。 (2017年5月17日)請根據指南協助改善这篇条目，並在讨论�...

Tornei di tennis maschili nel 1885

Prima della nascita della cosiddetta Era Open del tennis, ossia l'apertura ai tennisti professionisti degli eventi più importanti, tutti i tornei erano riservati ad atleti dilettanti. Nel 1885 tutti i tornei erano amatoriali, tra questi c'erano i tornei del Grande Slam: il Torneo di Wimbledon, e gli U.S. National Championships. Nel 1885 venne disputata la nona edizione del Torneo di Wimbledon questo vide la quinta vittoria di William Renshaw vincitore nel challenge round sul britannico Herbe...

Flat roof

Type of roof This article possibly contains original research. Please improve it by verifying the claims made and adding inline citations. Statements consisting only of original research should be removed. (March 2012) (Learn how and when to remove this message) Flat roofs in Israel Flat roof in Los Angeles Flat roof in Warszawa Centralna railway station in Poland (1975) A flat roof is a roof which is almost level in contrast to the many types of sloped roofs. The slope of a roof is properly ...

Andrea Sardini

Andrea SardiniAndrea Sardini con la maglia della Reggiana (1993)Nazionalità Italia Altezza192 cm Peso80 kg Calcio RuoloPreparatore dei portieri (ex portiere) Squadra San Marino Termine carriera2006 - giocatore CarrieraGiovanili Mantova Squadre di club1 1983-1988 Mantova2 (-2)1988-1991 Baracca Lugo100 (-60)1991-1992 Pisa6 (-10)1992-1995 Reggiana10 (-15)1995-1997 Cesena21 (-24)1997-1999 Ravenna8 (-13)1999-2003 Brescello118 (-131)2003-2005 ...