אנתוני אוג'ה נולד באוגבוקולו, ניגריה, ושיחק במועדון הספורט של הבירה אבוג'ה, ולאחר מכן במועדון וארי וולבס. בשנת 2010 חתם בלילסטרום מליגת העל הנורווגית, שם שיחק עונה וחצי. הופעתו הידועה ביותר בלילסטרום נערכה במרץ 2011, אז הבקיע רביעייה בניצחון 0–7 על סטאבק, ובסך הכל הבקיע עבור לילסטרום 27 שערי ליגה ב-36 הופעות. הצלחתו של אוג'ה בלילסטרום גררה התעניינות מליגות בכירות יותר, ובפגרת החורף של עונת 2011/12 חתם אוג'ה במיינץ 05. אוג'ה שיחק חצי עונה במיינץ, והבקיע שני שערים ב-12 הופעות. בתחילת עונת 2012/13 הושאל אוג'ה לפ.צ. קלן ששיחקה אז בליגת הבונדסליגה השנייה במטרה לסייע למועדון לשוב אל הבונדסליגה. אוג'ה הבקיע 13 שערים בעונת ההשאלה לקלן, אך לא הצליח להעפיל עם המועדון לבונדסליגה. בתום עונה זו חתם בקלן על חוזה קבוע, ובעונתו השנייה במועדון הבקיע 11 שערים וסייע לקלן להעפיל לבונדסליגה מהמקום הראשון. בעונת 2014/15 אוג'ה הבקיע עשרה שערים עבור קלן וסיים עם הקבוצה במקום ה-12 בבונדסליגה.
בקיץ 2015 חתם אוג'ה בורדר ברמן על חוזה לארבע שנים. אוג'ה רשם עונה מוצלחת מבחינה אישית בורדר ברמן, בה הבקיע 11 שערי ליגה ב-30 הופעות. עם זאת, הקבוצה שיחקה בתחתית הטבלה לאורך כל העונה, וניצלה מירידה רק במחזור הסיום. ב-5 ביולי2016, לאחר עונה אחת בלבד בורדר ברמן, חתם אוג'ה בליאונינג ווהווין הסינית תמורת דמי העברה של 13 מיליון אירו. אוג'ה ערך 39 הופעות במועדון זה והבקיע עשרה שערים.
בפגרת החורף של עונת 2017/18 חזר אוג'ה לבונדסליגה כאשר חתם במיינץ 05, בה שיחק בעבר, על חוזה לשלוש שנים וחצי. אוג'ה שיחק במיינץ עונה וחצי, כאשר במחצית השנייה של עונת 2017/18 לא הבקיע כלל, ובעונת 2018/19 הבקיע ארבעה שערים.
בקיץ 2019 נמכר אוג'ה לאוניון ברלין, העולה החדשה לבונדסליגה, וחתם בשורותיה על חוזה לשלוש עונות. בעונת הבכורה שלו בקבוצה, 2019/20, היה אוג'ה חלק מרכזי מהצלחת הקבוצה, שרק העפילה לבונדסליגה וסיימה את עונת הבכורה שלה במקום ה-11. עם זאת, אוג'ה החמיץ את כל עונת 2020/21 וערך שלוש הופעות בלבד בעונת 2021/22 בגין פציעות מרובות, ובקיץ 2022 שוחרר מהקבוצה.
ב-2 באוגוסט 2022 חתם באיינטרכט בראונשווייג מהבונדסליגה השנייה. בעונת הבכורה שלו בקבוצה, 2022/23, הבקיע אוג'ה עשרה שערי ליגה, וסיים עם הקבוצה במקום ה-15, לאחר מאבקי תחתית. בעונת 2023/24 אוג'ה ובראונשווייג סיימו שוב במקום ה-15, כשאוג'ה מבקיע שלושה שערים. בתום עונה זו שוחרר מהקבוצה.
