בריסטו נולד באטון, ברקשייר, בנו של צייר סמלי אצולה (הרלדיקה). בגיל צעיר הוא קיבל פטרונות מהנסיכה אליזבת, דוכס קלרנס (לאחר מכן ויליאם הרביעי) ואחרים. הוא עשה רישומים של דמויות ידועות באיטון קולג' ובווינדזור, צייר טבע דומם, פנים ונושאים ביתיים וספורטיביים.[2]
הייתה לו אהבה רבה לציור בעלי חיים, תוך ניצול כישרון נדיר להעביר את התנועות והביטויים האופייניים להם. הוא אהב להאניש קופים, ולצייר אותם בסצינות אנושיות בתוך בתים מאותה תקופה. הוא לימד ציור את ארתור ג'יימס סטארק, לדבריו היה ידיד ונתן עצות גם לצייר אדווין לנדסייר.[3]
בשנת 1809 הציג ציור, "נפח מפרזל סוס", בהאקדמיה המלכותית לאמנויות, והמשיך להציג באופן מזדמן שם ובמוסד הבריטי, ובחברת האמנים הבריטית, עד שנת 1838, אז הציג את "מרוץ החמורים" בגלריה ברחוב סאפוק.
בריסטו היה איש אקסצנטרי בעל רוח עצמאית ועבד רק כשהנפש ריגשה אותו - לא לפי הזמנה. לעיתים סירב אפילו למכור את עבודותיו המוגמרות. הוא הצטיין ברישום של קופים, חתולים וסוסים.
עבודותיו נטו להיות בקנה מידה קטן, תוך תשומת לב רבה לפרטים. רבות מיצירותיו נקנו על ידי אספנים פרטיים. תחריטים של כמה מעבודותיו הופיעו במגזין הספורט (אנ') ובמקומות אחרים.
בריסטו ייצר מעט מאוד במהלך חמש עשרה השנים האחרונות לחייו.