קוזנצוב נולד במוסקבה ב-1939, לאב יהודי ואם רוסייה שגידלה אותו[1] לאחר שאביו נהרג בקרב ב־1941. בשנת 1960, ביחד עם ולדימיר בוקובסקי ויורי גלנסקוב, נמנה עם מארגני אספות נוער ליד פסל מאיאקובסקי במוסקבה. ב-1961 נעצר לראשונה על ידי המשטר הסובייטי ונכלא לשבע שנים, לאחר שהקריא שירי מחאה מפרי עטו בכיכר מאיאקובסקי במוסקבה, ולאחר שפרסם סאמיזדאט נגד המשטר.
ב-15 ביוני1970 הנהיג קוזנצוב, לצד מארק דימשיץ, ניסיון של ציונים מתנגדי משטר סובייטים לחטוף מטוס ריק מלנינגרד לשוודיה בדרך לישראל, על מנת לברוח מברית המועצות לאחר שלא קיבלו אישור יציאה. קוזנצוב ודימשיץ נידונו למוות, אך בעקבות לחץ בינלאומי הומתק עונשם ל-15 שנות מאסר. אשתו של קוזנצוב, סילווה זלמנסון, נדונה ל-10 שנות מאסר (שוחררה ב-1974 בעסקת החלפת אסירים ועלתה לישראל). ב-1979 שוחרר קוזנצוב מהכלא במסגרת עסקת חילופי אסירים עם ארצות הברית, יחד עם ארבעה אסירים נוספים, מתנגדי המשטר.
לאחר ששוחרר עלה קוזנצוב לישראל. ב-1980 נולדה לו ולאשתו, סילווה זלמנסון, בתם ענת. ב-1981 הזוג התגרש. בשנת 1982 התמודד בבחירות לכנסת במסגרת מפלגה רוסית ראשונה. הוא ניהל את מחלקת החדשות של רדיו חירות (1983–1990). ב-1991 היה העורך ביומון בשפה הרוסית "ורמיה" ועבר ב-1992, יחד עם קבוצה גדולה של עיתונאים אשר מחו נגד תנאי העסקתם, לעבוד ב"ווסטי", העיתון הרוסי הנפוץ בישראל, כעורך הראשי. בשנת 1999 החל לערוך את "מיג ניוז" ובשנים 2003–2007 היה העורך הראשי של האלמנך הספרותי והאמנותי "Nota Bene".
אני אזרח ישראל! : יומן מהכלא / אדוארד קוזנצוב - הספר היחידי שהוברח ממחנות העבודה הסובייטים ופורסם במערב. "יומן שרשם בכלא הסובייטי, בסתר, אדוארד קוזיצוב ואשר הוברח למערב. קוזנצוב שנתיתם בגיל צעיר מאביו היהודי, גודל על ידי אמו כרוסי ללא כל זיקה ליהדות, ורק בהתבגרו זיהה את עצמו עם העם היהודי והחל ללחום על זכותו לעלות לישראל. הוא נאשם בניסיון הנודע לחטוף מטוס (ריק) כדי לצאת מברית-המועצות, ונדון במשפט לנינגרד תחילה למוות, אך לאחר-מכן הוחלף ענשו בחמש-עשרה שנות מאסר". בשפות אחרות הספר נקרא "יומני כלא", אבל בעברית קיבל את הכותרת "אני אזרח ישראל". הספר מתורגם מרוסית לאנגלית, צרפתית, גרמנית, ספרדית.
