נולד בשנת ה'תרכ"ט לאביו הרב שמואל יצחק שור, בעל מחבר שו"ת מנחת ש"י, שהיה חסיד צ'ורטקוב. סבו הוא הרב משה חיים שור שהיה רב העיר מונסטריץ'. עם פטירת סבו בשנת ה'תרנ"א החל אביו לכהן כרב העיר, ובשנת ה'תרס"ב כאשר נפטר אביו, ירש את רבנות העיר בעצמו.
בגיל 22 נסמך להוראה על ידי אביו וע"י רבי יצחק שמעלקיש ורבי אריה ליב מסטרי, ובהמשך הוסמך על ידי המהרש"ם מבערזאן ורבי אלימלך אשכנזי מהורדונקה[1], וכיהן כרב בכמה עיירות בגליציה, בשנת ה'תרס"א הוסמך על ידי אביו החורג רבי שלום מרדכי שבדרון מברז'אן.
נשא לאישה את בת שבע, ביתו של רבי פנחס ברנדווין, חתן רבי אברהם ברנדווין, אדמו"ר של חסידות סטרטין. בשנת ה'תרס"א עלה רבי פנחס לארץ, ובתו התקשתה לשאת את הריחוק ממנו ושידלה את בעלה לעלות אף הוא, ואכן כשנה אחר כך בשנת ה'תרס"ב עלה אף הרב שור לארץ והתיישב בירושלים.
לאחר שהתיישב בירושלים מונה להיות "ממונה" בכולל ויז'ניץ ומרמרוש, חבר ב'ועד השחיטה המאוחד' וגבאי ב'חברא קדישא של כוללות החסידים', בהמשך ניהל את מושב זקנים. בשנת ה'תרע"א מונה לדיין בבד"ץ כוללות החסידים ולאחר מכן, בשנת ה'תרע"ו מונה לעמוד בראשו.
בשנת תר"צ העיד בתור מומחה בענייני הכותל בפני ועדת הכותל שמינה חבר הלאומים[2].
בשנת ה'תרע"ט החל לצאת לאור בירושלים עיתון מחזיקי בדת מייסודו, בהשראה לעיתון מחזיקי הדת שהיה יוצא בלבוב[3]. אך בכסלו ה'תרפ"ג יצא לאור הגיליון האחרון של העיתון.
נפטר בערב שבועות לאחר מחלה ממושכת[4], על מצבתו נכתב[5]:
פ”נ הגאון נשיא אלקים מוהר”ר אברהם צבי שור זצלה”ה בהגאון שר התורה בעל מנחת-שי מוהר”ר שמואל יצחק זצלה”ה מגזע תרשישים כח דורות דור אחר דור גאוני ומצוקי ארץ חיבר ספרי שביבי-אש על ד”ח שו”ע ומנחת אברהם על יו”ד בשחרותו שימש ברבנות דק”ק קניהינטש ומנסטרישץ בגליציא – פולין כארבעים שנה שרת בקודש חבר וראב”ד לעדת אשכנזים חסידים יצ”ו ונשיא חברת מחזיקי-הדת פה קרתא קדישא ת”ו נשמתו עלתה בטהרה ערב חג השבועות תש”ה ת’נ’צ’ב’ה’
חיבוריו
בשנת ה'תרע"א הדפיס את חלקו השני של ספרו של אביו "מנחת ש"י" והסיף לו גם חיבור שכתב בעצמו בשם "מנחת אברהם" על יורה דעה[6]. בשנת ה'תרצ"ה הדפיס את ספרו שביבי א"ש על אורח חיים וחושן משפט[7]. בנוסף נמצא חיבור שלו שלא נדפס מעולם של פסקי הלכות בעניינים שונים בנושאי יו"ד[8].
על ספריו קיבל הסכמות מהאדמו"ר רבי ישראל מטשורטקוב ובנו רבי דובער, ומבעל "אהבת ישראל" מוויז'ניץ.
