En álxebra linear e física, un vector unitario ou versor é un vector de módulo un. Pode chamarse tamén vector normalizado.

Un vector unitario denótase frecuentemente cun acento circunflexo sobre o seu nome, como ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$ (lese "r vector" ou "vector r"). A notación mediante o uso dunha breve (${\displaystyle \mathbf {\breve {r}} \,}$) tamén é común, especialmente en manuscritos. A tendencia actual é representar o vector na dirección do vector ${\displaystyle \mathbf {r} \,}$ na forma ${\displaystyle \mathbf {u} _{\text{r}}\,}$.

Definido o concepto de vector unitario no inicio do artigo e tendo presentado as notacións habituais na sección anterior, neste apartado dáse unha definición simbólica de vector unitario.

Sexa o vector v ∈ ℝⁿ. Dise que v é un vector unitario e indícase mediante ${\displaystyle \mathbf {\hat {v}} }$ se e só se o módulo de v é igual a 1.

Ou en forma máis compacta:

${\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}\Rightarrow \mathbf {v} \equiv \mathbf {\hat {v}} \Leftrightarrow |\mathbf {v} |=1}$

Con frecuencia resulta conveniente dispoñer dun vector unitario que teña a mesma dirección que un vector dado ${\displaystyle \mathbf {v} \,}$. A tal vector denomínase versor asociado ao vector ${\displaystyle \mathbf {v} \,}$ e pódese representar ben sexa por ${\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}\,}$ ou por ${\displaystyle \mathbf {u} _{v}\,}$ e indica unha dirección no espazo.

A operación que permite calcular ${\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}\,}$ é a división do vector entre o seu módulo.

${\displaystyle \mathbf {\hat {v}} ={\frac {\vec {\mathbf {v} }}{|\mathbf {v} |}}}$

O proceso de obter un versor asociado a un vector denomínase normalización do vector, razón pola cal é común referirse a un vector unitario como vector normalizado.

O método para transformar unha base ortogonal (obtida, por exemplo mediante o método de ortogonalización de Gram-Schmidt) nunha base ortonormal (é dicir, unha base na que todos os vectores son versores) consiste simplemente en normalizar todos os vectores da base utilizando a ecuación anterior.

No espazo euclidiano, o produto escalar de dous vectores unitarios é simplemente o coseno do ángulo entre eles. Isto é consecuencia da definición do produto escalar e do feito de que o módulo de ambos vectores é a unidade:

${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} \cdot \mathbf {\hat {v}} =|\mathbf {\hat {u}} ||\mathbf {\hat {v}} |\cos \theta }$

Pero como:

${\displaystyle |\mathbf {\hat {u}} |=|\mathbf {\hat {v}} |=1}$

Entón:

${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} \cdot \mathbf {\hat {v}} =\cos \theta }$

onde θ é o ángulo entre ambos vectores.

Do anterior, resulta que o produto dun vector por un vector (ou vector unitario) é a proxección escalar do vector sobre a dirección determinada polo versor.

${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} =|\mathbf {F} ||\mathbf {\hat {n}} |\cos \theta }$

Como o módulo do vector ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ é a unidade, a ecuación anterior transfórmase en:

${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} =|\mathbf {F} |\cos \theta }$

de onde é evidente o afirmado ao comezo deste apartado.

Este resultado é moi frecuente en física, onde é necesario operar, por exemplo, coas compoñentes ortogonais a unha superficie.

Os versores asociados coas direccións dos eixes coordenados cartesianos ${\displaystyle x,\,y,\,z\,}$ desígnanse por ${\displaystyle \mathbf {i} ,\,\mathbf {j} ,\,\mathbf {k} \,}$, respectivamente.

Os versores cartesianos permiten expresar analiticamente os vectores por medio das súas compoñentes cartesianas.

Exemplo: a expresión analítica do vector ${\displaystyle {\mathbf {v} =(1,-2,3)\,}}$ é

${\displaystyle {\mathbf {v} =\mathbf {i} -2\mathbf {j} +3\mathbf {k} }}$