En análise matemática, o teorema da función implícita estabelece condicións baixo as que unha ecuación de varias variables permite definir unha delas como función das demais.

Por exemplo, dada a ecuación F(x,y)=0 (forma coñecida como función implícita), baixo certas esixencias sobre a derivada de F poderiamos, alo menos localmente, despexar y=f(x).

Se se considera o punto ${\displaystyle \,P=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},b)}$ e a ecuación ${\displaystyle \,F(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},z)=0}$, sendo ${\displaystyle \,F(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},z)}$ unha función de ${\displaystyle \,n+1}$ variábeis que satisfai as seguintes condicións:

1. ${\displaystyle \,F(P)=0}$
2. Nun contorno do punto ${\displaystyle \,P=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},b)}$ existen e son continuas as derivadas parciais ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial F}{\partial x_{2}}},\dots ,{\frac {\partial F}{\partial x_{n}}},{\frac {\partial F}{\partial z}}}$.
3. ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial z}}}$ en ${\displaystyle P}$ é distinto de cero.

Entón existe nun contorno do punto ${\displaystyle \,Q=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$ unha única función ${\displaystyle \,z=f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ cuxas derivadas parciais respecto de ${\displaystyle \,x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ son continuas nun contorno de dito punto ${\displaystyle \,Q}$ e tal que ${\displaystyle \,F(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}))=0}$.

Existen versións deste teorema con hipóteses algo máis xerais.

• Teorema da función inversa