En teoría de números, un número superperfecto é un número enteiro positivo n que satisfai

${\displaystyle \sigma ^{2}(n)=\sigma (\sigma (n))=2n\,,}$

onde σ é a función sumatorio de divisores. Os números superperfectos non son unha xeneralización dos números perfectos senón que teñen unha xeneralización común. O termo foi acuñado por D. Suryanarayana (1969).^[1]

Os primeiros números superperfectos son:

2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144, 1073741824 ,... (secuencia A019279 na OEIS).

Para poder entedelo mellor, aquí un exemplo: 16 é un número superperfecto xa que σ(16) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31, e σ(31) = 1 + 31 = 32, polo que σ(σ(16)) = 32 = 2 × 16.

Se n é un número superperfecto par, entón n debe ser unha potencia de 2, 2^k, tal que 2^k+1 − 1 é un primo de Mersenne.^[1]

Non se sabe se existen números superperfectos impares. Un número superperfecto impar n tería que ser un número cadrado tal que n ou σ(n) sexa divisible por polo menos tres primos distintos. Non hai números superperfectos impares por debaixo de ${\displaystyle 7\times 10^{24}}$.^[1]

Os números perfectos e superperfectos son exemplos dunha clase denominada números m-superperfectos, que son os que satisfán

${\displaystyle \sigma ^{m}(n)=2n,}$

para os números perfectos m=1 e para os superperfectos m=2 respectivamente. Para m ≥ 3 non hai números m-superperfectos pares. ^[1]

Os números m-superperfectos son á súa vez exemplos de (m, k)-números perfectos que satisfán^[2]

${\displaystyle \sigma ^{m}(n)=kn\,.}$

Con esta notación, os números perfectos son (1,2)-perfectos, os números multiperfectos son (1, k)-perfectos, os números superperfectos son (2,2)-perfectos e os números m-superperfectos son (m, 2)-perfectos.^[3] Exemplos de clases de (m, k)-números perfectos son:

• Cohen, G. L.; te Riele, H. J. J. (1996). "Iterating the sum-of-divisors function". Experimental Mathematics: 93–100. doi:10.1080/10586458.1996.10504580. 
• Guy, Richard K. (2004). Unsolved problems in number theory. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-20860-2. 
• Sándorf, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav (2006). Handbook of number theory I. Springer-Verlag. ISBN 1-4020-4215-9. 

• Superperfect Number at PlanetMath.