En cálculo, e máis xeralmente na análise matemática, a integración por partes é un proceso que atopa a integral dun produto de funcións en termos da integral do produto da súa derivada e antiderivada. A regra pódese pensar como unha versión para unha integral da regra de diferenciación do produto.

A fórmula de integración por partes di:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx&={\Big [}u(x)v(x){\Big ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx\\&=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx.\end{aligned}}}$

Ou, sendo ${\displaystyle u=u(x)}$ e ${\displaystyle du=u'(x)\,dx}$ mentres que ${\displaystyle v=v(x)}$ e ${\displaystyle dv=v'(x)\,dx,}$ a fórmula pódese escribir de forma máis compacta:

${\displaystyle \int u\,dv\ =\ uv-\int v\,du.}$

A primeira expresión escríbese como unha integral definida e a segunda escríbese como unha integral indefinida.

O matemático Brook Taylor descubriu a integración por partes, publicando a idea por primeira vez en 1715.^[1][2] Existen formulacións máis xerais de integración por partes para as integrais de Riemann–Stieltjes e Lebesgue–Stieltjes. O análogo discreto para secuencias chámase sumatorio por partes.

O teorema pódese derivar do seguinte xeito. Para dúas funcións continuamente diferenciábeis ${\displaystyle u(x)}$ e ${\displaystyle v(x)}$, a regra do produto estabelece:

${\displaystyle {\Big (}u(x)v(x){\Big )}'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).}$

Integrando ámbolos dous lados con respecto a ${\displaystyle x}$,

${\displaystyle \int {\Big (}u(x)v(x){\Big )}'\,dx=\int u'(x)v(x)\,dx+\int u(x)v'(x)\,dx,}$

e observando que unha integral indefinida é unha antiderivada dá

${\displaystyle u(x)v(x)=\int u'(x)v(x)\,dx+\int u(x)v'(x)\,dx,}$

onde prescindimos de escribir a constante de integración. Isto dá a fórmula da integración por partes:

${\displaystyle \int u(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,dx,}$

ou en termos de diferenciais ${\displaystyle du=u'(x)\,dx}$, ${\displaystyle dv=v'(x)\,dx,\quad }$

${\displaystyle \int u(x)\,dv=u(x)v(x)-\int v(x)\,du.}$

A integración por partes é unha heurística máis que un proceso puramente mecánico para resolver integrais; dada unha única función para integrar, a estratexia típica é separar coidadosamente esta única función nun produto de dúas funcións u(x) v(x) de forma que a integral residual da fórmula de integración por partes sexa máis fácil de avaliar que a función unida.

Como exemplo sinxelo, consideremos:

${\displaystyle \int {\frac {\ln(x)}{x^{2}}}\,dx\,.}$

Xa que a derivada de ln(x) é1/x, tomamos (ln(x)) como parte u; xa que a antiderivada de 1/x² é −1/x tomamos 1/x² como part v. A fórmula agora dá:

${\displaystyle \int {\frac {\ln(x)}{x^{2}}}\,dx=-{\frac {\ln(x)}{x}}-\int {\biggl (}{\frac {1}{x}}{\biggr )}{\biggl (}-{\frac {1}{x}}{\biggr )}\,dx=-{\frac {\ln(x)}{x}}-{\frac {1}{x}}+C.}$

A antiderivada de −1/x² atópase coa regra da potencia.

Alternativamente, pódese escoller u e v de tal forma que o produto u ′ (∫v dx) simplifica debido á cancelación. Por exemplo, supoñamos que se quere integrar:

${\displaystyle \int \sec ^{2}(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}\,dx.}$

Se escollemos u(x) = ln(|sin( x )|) e v (x) = sec²x, entón u diferénciase como ${\displaystyle {\frac {1}{\tan x}}}$ usando a regra da cadea e v intégrase como tan x; polo que a fórmula dá:

${\displaystyle \int \sec ^{2}(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}\,dx=\tan(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}-\int \tan(x)\cdot {\frac {1}{\tan(x)}}\,dx\ =\tan(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}-x+C.}$

Para calcular

${\displaystyle I=\int x\cos(x)\,dx\,,}$

facemos:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}u&=x\ &\Rightarrow \ &&du&=dx\\dv&=\cos(x)\,dx\ &\Rightarrow \ &&v&=\int \cos(x)\,dx=\sin(x)\end{alignedat}}}$

daquela:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int x\cos(x)\,dx&=\int u\ dv\\&=u\cdot v-\int v\,du\\&=x\sin(x)-\int \sin(x)\,dx\\&=x\sin(x)+\cos(x)+C,\end{aligned}}}$

onde C, coma sempre é unha constante de integración.

Un exemplo que se usa habitualmente para entender o funcionamento da integración por partes é

${\displaystyle I=\int e^{x}\cos(x)\,dx.}$

Aquí, a integración por partes realízase dúas veces. Primeiro facemos

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}u&=\cos(x)\ &\Rightarrow \ &&du&=-\sin(x)\,dx\\dv&=e^{x}\,dx\ &\Rightarrow \ &&v&=\int e^{x}\,dx=e^{x}\end{alignedat}}}$

daquela:

${\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\,dx=e^{x}\cos(x)+\int e^{x}\sin(x)\,dx.}$

Agora, para avaliar a integral restante, usamos de novo a integración por partes, con:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}u&=\sin(x)\ &\Rightarrow \ &&du&=\cos(x)\,dx\\dv&=e^{x}\,dx\,&\Rightarrow \ &&v&=\int e^{x}\,dx=e^{x}.\end{alignedat}}}$

Entón:

${\displaystyle \int e^{x}\sin(x)\,dx=e^{x}\sin(x)-\int e^{x}\cos(x)\,dx.}$

Xuntando as dúas,

${\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\,dx=e^{x}\cos(x)+e^{x}\sin(x)-\int e^{x}\cos(x)\,dx.}$

A mesma integral aparece a ambos os dous lados desta ecuación. A integral pódese engadir simplemente a ambos os dous lados para obter

${\displaystyle 2\int e^{x}\cos(x)\,dx=e^{x}{\bigl [}\sin(x)+\cos(x){\bigr ]}+C,}$

que reordenamos como

${\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\,dx={\frac {1}{2}}e^{x}{\bigl [}\sin(x)+\cos(x){\bigr ]}+C'}$

onde outra vez ${\displaystyle C}$ (e ${\displaystyle C'={\frac {C}{2}}}$ ) é unha constante de integración.

Outros dous exemplos coñecidos son cando a integración por partes se aplica a unha función expresada como produto de 1 e de si mesma. Isto funciona se se coñece a derivada da función e tamén a integral desta derivada multiplicada por ${\displaystyle x}$.

O primeiro exemplo é ${\displaystyle \int \ln(x)dx}$ . Escribimos isto como:

${\displaystyle I=\int \ln(x)\cdot 1\,dx\,.}$

Sexa:

${\displaystyle u=\ln(x)\ \Rightarrow \ du={\frac {dx}{x}}}$

${\displaystyle dv=dx\ \Rightarrow \ v=x}$

logo:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \ln(x)\,dx&=x\ln(x)-\int {\frac {x}{x}}\,dx\\&=x\ln(x)-\int 1\,dx\\&=x\ln(x)-x+C\end{aligned}}}$

O segundo exemplo é a función inversa da tanxente ${\displaystyle \arctan(x)}$ :

${\displaystyle I=\int \arctan(x)\,dx.}$

Reescribe isto como

${\displaystyle \int \arctan(x)\cdot 1\,dx.}$

Agora temos:

${\displaystyle u=\arctan(x)\ \Rightarrow \ du={\frac {dx}{1+x^{2}}}}$

${\displaystyle dv=dx\ \Rightarrow \ v=x}$

entón

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \arctan(x)\,dx&=x\arctan(x)-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\,dx\\[8pt]&=x\arctan(x)-{\frac {\ln(1+x^{2})}{2}}+C\end{aligned}}}$

utilizando unha combinación do método da regra da cadea inversa e a integral do logaritmo natural.

A regra LÍATE é unha regra mnemotécnica para a integración por partes. Implica escoller como u a función que aparece primeiro na seguinte lista:^[3]

• L - funcións logarítmicas : ${\displaystyle \ln(x),\ \log _{b}(x),}$ etc.
• I – funcións trigonométricas inversas (incluíndo as súas análogas hiperbólicas): ${\displaystyle \arctan(x),\ \operatorname {arcsec}(x),\ \operatorname {arsinh} (x),}$ etc.
• A – funcións alxébricas (como polinomios): ${\displaystyle x^{2},\ 3x^{50},}$ etc.
• T - funcións trigonométricas (incluíndo análogas hiperbólicas ): ${\displaystyle \sin(x),\ \tan(x),\ \operatorname {sech} (x),}$ etc.
• E - funcións exponenciais : ${\displaystyle e^{x},\ 19^{x},}$ etc.

A función que debe ser dv é a que aparece en último lugar da lista. O motivo é que as funcións inferiores na lista xeralmente teñen antiderivadas máis simples que as funcións anteriores. A regra ás veces escríbese como "DETAIL", onde D significa dv e a parte superior da lista é a función escollida para ser dv.

Para demostrar a regra LÍATE, considere a integral

${\displaystyle \int x\cdot \cos(x)\,dx.}$

Seguindo a regra LÍATE, u = x, e dv = cos(x) dx, polo tanto du = dx, e v = sin(x), o que fai que a integral se converta en

${\displaystyle x\cdot \sin(x)-\int 1\sin(x)\,dx,}$ que é igual a

${\displaystyle x\cdot \sin(x)+\cos(x)+C.}$

A función gamma é un exemplo dunha función especial, definida como unha integral impropia para ${\displaystyle z>0}$. A integración por partes ilustra que é unha extensión da función factorial:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)&=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{z-1}dx\\[6pt]&=-\int _{0}^{\infty }x^{z-1}\,d\left(e^{-x}\right)\\[6pt]&=-{\Biggl [}e^{-x}x^{z-1}{\Biggl ]}_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }e^{-x}d\left(x^{z-1}\right)\\[6pt]&=0+\int _{0}^{\infty }\left(z-1\right)x^{z-2}e^{-x}dx\\[6pt]&=(z-1)\Gamma (z-1).\end{aligned}}}$

Posto que

${\displaystyle \Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }e^{-x}\,dx=1,}$

cando ${\displaystyle z}$ é un número natural, é dicir, ${\displaystyle z=n\in \mathbb {N} }$, aplicando esta fórmula repetidamente dá o factorial: ${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}$

A integración por partes utilízase a miúdo na análise harmónica, particularmente na análise de Fourier, para mostrar que as integrais que oscilan rapidamente con integrandos suficientemente suaves decaen rapidamente. O exemplo máis común disto é o seu uso para mostrar que a decadencia da transformada de Fourier da función depende da suavidade desa función, como se describe a continuación.

Se ${\displaystyle f}$ é unha ${\displaystyle k}$-veces función continuamente diferenciábel e todas as derivadas ata ${\displaystyle k}$ decaen a cero no infinito, entón a súa transformada de Fourier satisfai

${\displaystyle ({\mathcal {F}}f^{(k)})(\xi )=(2\pi i\xi )^{k}{\mathcal {F}}f(\xi ),}$

onde ${\displaystyle f^{(k)}}$ é a ${\displaystyle k}$-ésima derivada de ${\displaystyle f}$. (A constante exacta da dereita depende da convención da transformada de Fourier usada.) Isto móstrase observando que

${\displaystyle {\frac {d}{dy}}e^{-2\pi iy\xi }=-2\pi i\xi e^{-2\pi iy\xi },}$

polo que empregando a integración por partes na transformada de Fourier da derivada obtemos

${\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {F}}f')(\xi )&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi iy\xi }f'(y)\,dy\\&=\left[e^{-2\pi iy\xi }f(y)\right]_{-\infty }^{\infty }-\int _{-\infty }^{\infty }(-2\pi i\xi e^{-2\pi iy\xi })f(y)\,dy\\[5pt]&=2\pi i\xi \int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi iy\xi }f(y)\,dy\\[5pt]&=2\pi i\xi {\mathcal {F}}f(\xi ).\end{aligned}}}$

Aplicando isto de forma indutiva dá o resultado para un ${\displaystyle k}$ en xeral. Pódese usar un método similar para atopar a transformada de Laplace dunha derivada dunha función.

O resultado anterior fálanos sobre a decadencia da transformada de Fourier, xa que se segue que se ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle f^{(k)}}$ son integrábeis entón

${\displaystyle \vert {\mathcal {F}}f(\xi )\vert \leq {\frac {I(f)}{1+\vert 2\pi \xi \vert ^{k}}},{\text{ onde }}I(f)=\int _{-\infty }^{\infty }{\Bigl (}\vert f(y)\vert +\vert f^{(k)}(y)\vert {\Bigr )}\,dy.}$

Noutras palabras, se ${\displaystyle f}$ satisfai estas condicións, entón a súa transformada de Fourier decae no infinito polo menos tan rápido como 1/|ξ|^k. En particular, se ${\displaystyle k\geq 2}$ entón a transformada de Fourier é integrábel.

A proba usa o feito, que é inmediato pola definición da transformada de Fourier, de que

${\displaystyle \vert {\mathcal {F}}f(\xi )\vert \leq \int _{-\infty }^{\infty }\vert f(y)\vert \,dy.}$

Usando a mesma idea sobre a igualdade indicada ao comezo deste subapartado dáse

${\displaystyle \vert (2\pi i\xi )^{k}{\mathcal {F}}f(\xi )\vert \leq \int _{-\infty }^{\infty }\vert f^{(k)}(y)\vert \,dy.}$

Sumando estas dúas desigualdades e dividindo despois entre 1 + |2πξ^k| dá a desigualdade declarada.

• Louis Brand (10 October 2013). Advanced Calculus: An Introduction to Classical Analysis. Courier Corporation. pp. 267–. ISBN 978-0-486-15799-3. 
• Hoffmann, Laurence D.; Bradley, Gerald L. (2004). Calculus for Business, Economics, and the Social and Life Sciences (8th ed.). pp. 450–464. ISBN 0-07-242432-X. 
• Willard, Stephen (1976). Calculus and its Applications. Boston: Prindle, Weber & Schmidt. pp. 193–214. ISBN 0-87150-203-8. 
• Washington, Allyn J. (1966). Technical Calculus with Analytic Geometry. Reading: Addison-Wesley. pp. 218–245. ISBN 0-8465-8603-7. 

• Integral de Lebesgue–Stieltjes
• Integración por cambio de variábel

• Calculadora de integração por partes.