A hipótese do continuo é unha conxectura proposta por Georg Cantor. Esta conxectura consiste no seguinte:

Non existe ningún conxunto cun cardinalidade maior que a do conxunto dos números enteiros e menor que a do conxunto dos números reais.

Aquí máis elementos e menos elementos teñen un significado moi preciso (ver número cardinal). Esta hipótese foi o número un dos 23 problemas de Hilbert presentados na conferencia do Congreso Internacional de Matemáticas de 1900, o que levou a que fose estudada en profundidade durante o século XX.

Cantor achaba que a conxectura era certa. No entanto:

• En 1938, Kurt Gödel demostrou que a negación da hipótese do continuo non se podía probar a partir dos axiomas de Zermelo-Fraenkel máis a escolla, se son consistentes.
• en 1963, Paul Cohen demostrou que a hipótese do continuo tampouco non poderia ser probada a partir dos axiomas de Zermelo-Fraenkel, se son consistentes.

Polo tanto, a hipótese do continuo é independente dos axiomas de Zermelo-Fraenkel. Esta independencia leva a algúns matemáticos a considerar que os axiomas de Zermelo-Fraenkel xa non son suficientes para resolver problemas significativos na teoría de conxuntos e que deberían considerarse axiomas adicionais para facer verdadeira ou falsa esta hipótese. En particular, Gödel, malia de demostrar a súa coherencia, considerou a posibilidade de que novos axiomas permitisen refutar a Hipótese do Continuo.

Aleph (א) é unha letra que se usa para representar infinitos cardinais. A cardinalidade do conxunto de enteiros é ${\displaystyle \aleph _{0}}$, o seguinte cardinal é ${\displaystyle \aleph _{1}}$, etc. Usando os números cardinais ${\displaystyle \aleph }$, a hipótese do continuo pódese escribir como:

${\displaystyle \aleph _{1}=2^{\aleph _{0}}}$

A xeneralización desta hipótese (que non se pode demostrar a partir dela) é que para calquera ordinal ${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle \aleph _{\alpha +1}=2^{\aleph _{\alpha }}}$

Debemos ter unha precaución na fórmula anterior: o tratamento de α + 1 usa aritmética ordinal mentres que o tratamento de ${\displaystyle 2^{\aleph _{\alpha }}\,}$ usa aritmética cardinal; todo número ordinal é, por definición, un número cardinal, mais a inversa non é verdade.

En ZFC, a teoría de conxuntos cos axiomas de Zermelo–Fraenkel máis o axioma de escolla, a cardinalidade do continuo é moi indeterminada. O primeiro resultado negativo foi demostrado por König, respecto dos valores que o continuo non pode tomar, como mostra o chamado teorema de König:

${\displaystyle \mathbf {ZFC} \vdash 2^{\aleph _{0}}\neq \aleph _{\omega }\,}$

O mesmo sucede con outros cardonais da cofinalidade ${\displaystyle \omega ^{\,}}$:

${\displaystyle \mathbf {ZFC} \vdash 2^{\aleph _{0}}\neq \aleph _{\omega +\omega }\,}$

${\displaystyle \mathbf {ZFC} \vdash 2^{\aleph _{0}}\neq \aleph _{\omega _{\omega }}\,}$

Sexa ${\displaystyle {\mbox{Con}}\left(T\right)}$ a declaración "${\displaystyle T^{\,}}$ é consistente". Como se dixo anteriormente, Gödel demostrou:

${\displaystyle {\mbox{Con}}\left(\mathbf {ZFC} \right)\Rightarrow {\mbox{Con}}\left(\mathbf {ZFC} +2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}\right)}$

Usando forzamento pódense demostrar os seguintes resultados :

${\displaystyle {\mbox{Con}}\left(\mathbf {ZFC} \right)\Rightarrow {\mbox{Con}}\left(\mathbf {ZFC} +2^{\aleph _{0}}=\aleph _{n}\right)}$

para calquera ${\displaystyle n\geq 2}$ . De forma máis xeral, o continuo pode ser calquera cardinal regular non contábel. Por exemplo:

${\displaystyle {\mbox{Con}}\left(\mathbf {ZFC} \right)\Rightarrow {\mbox{Con}}\left(\mathbf {ZFC} +2^{\aleph _{0}}=\aleph _{\omega +42}\right)}$

${\displaystyle {\mbox{Con}}\left(\mathbf {ZFC} \right)\Rightarrow {\mbox{Con}}\left(\mathbf {ZFC} +2^{\aleph _{0}}=\aleph _{\omega _{1}}\right)}$

Se chamamos WI á afirmación "existe un cardinal debilmente inaccesíbel", entón vale:

${\displaystyle {\mbox{Con}}\left(\mathbf {ZFC+WI} \right)\Rightarrow {\mbox{Con}}\left(\mathbf {ZFC} +{\mbox{``}}2^{\aleph _{0}}\;\;{\mbox{é feblemente inaccesíbel''}}\right)}$

• KUNEN, Kenneth (1980). Elsevier, ed. Set theory: an introduction to independence proofs. Amsterdam. ISBN 0-444-86839-9. 

• Ligazóns entre [[ ]].

• Szudzik, Matthew; Weisstein, Eric W. "Continuum Hypothesis". MathWorld.