Théorème de Darboux (géométrie)

Pour l’article homonyme, voir Théorème de Darboux (analyse).

Portrait de Gaston Darboux, mathématicien ayant démontré ce théorème.

Le théorème de Darboux est un théorème central de la géométrie symplectique : les variétés symplectiques de dimension $2n$ sont deux à deux localement symplectomorphes.

Énoncé et démonstration

Plus explicitement :

Théorème de Darboux — Si $(M,\omega )$ est une variété symplectique de dimension $2n$ , alors, au voisinage de tout point de $M$ , il existe des coordonnées locales $(p,q)=(p_{1},...,p_{n},q_{1},...,q_{n})$ de sorte que, dans ces coordonnées, $\omega$ s'exprime comme ceci :

\omega =\mathrm {d} p\wedge \mathrm {d} q

Ce résultat implique l'inexistence d'invariant local en géométrie symplectique. Cette situation s'oppose à la géométrie riemannienne pour laquelle il existe un invariant local de classe $C^{2}$ , la courbure.

Démonstration

La question est locale, et on peut fort bien supposer que la variété $M$ est un ouvert $U$ de $\mathbb {R} ^{n}$ , étoilé en $0$ , et $\omega$ est une 2-forme différentielle fermée et non dégénérée avec :

\omega _{0}=\mathrm {d} p\wedge \mathrm {d} q

Par une isotopie, on va déformer $\omega$ en $\omega _{0}$ . Rappelons que toute isotopie ${\Psi _{t}}$ est le flot d'un champ de vecteurs dépendant du temps ${X_{t}}$ .

Posons $\omega _{t}=t\cdot \omega +(1-t)\cdot \mathrm {d} p\wedge \mathrm {d} q$ .

Raisonnons par condition nécessaire. La formule de Cartan permet de dériver l'identité $\Phi _{t}^{*}\omega _{t}=\mathrm {d} p\wedge \mathrm {d} q$ :

0=\Phi _{t}^{*}\left[{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\omega _{t}+L_{X_{t}}\omega _{t}\right]\Longrightarrow \omega -\mathrm {d} p\wedge \mathrm {d} q=-\mathrm {d} \iota _{X_{t}}\omega _{t}

La forme $\omega -\mathrm {d} p\wedge \mathrm {d} q$ est exacte sur l'ouvert étoilé $U$ , et donc s'écrit $\mathrm {d} \alpha$ où $\alpha$ est une 1-forme différentielle. Pour des raisons de non-dégénérescence, il existe un unique champ de vecteurs dépendant du temps ${X_{t}}$ implicitement défini par :

\iota _{X_{t}}\omega _{t}=\alpha

Si ${\Phi _{t}}$ est le flot, alors $\Phi _{1}$ répond à la question.

Remarque : La démonstration est encore incomplète à ce stade !

Aspect semi-local

Ainsi, la géométrie symplectique est essentiellement globale. Cependant, le théorème de Darboux conduit à des questions semi-locales :

Il répond à une question existentielle : Existe-t-il une carte locale telle que… ? La preuve donne l'existence de la carte sur un domaine suffisamment petit. Renversons la question :

Quelle est la plus grande taille du domaine d'un morphisme symplectique d'un ouvert de ℝ^$n$ dans $(M,\omega )$ ?

Cependant, quel sens donner au mot « taille » ? Soit $r,R>0$ ; l'existence d'un plongement symplectique d'une boule (fermée) $B^{2n}(r)$ dans un cylindre $B^{2}(R)$ ×ℝ^$2n-2$ implique $r\leq R$ ^[1]. La capacité symplectique d'une variété symplectique $(M,\omega )$ est donnée par :

c(M,\omega )=\sup\{r>0,\exists f:B(0,r)\hookrightarrow M,f^{*}\omega =\mathrm {d} p\wedge \mathrm {d} q\}

Note et référence

↑ (en) Dusa McDuff et Dietmar Salamon, Introduction to Symplectic Topology [détail des éditions], p. 372.

Voir aussi

Portail de la géométrie

Read other articles:

Eparki San Diego

Eparki Eparki Katolik Kaldea Santo Petrus RasulEparchia Sancti Petri Apostoli urbis Sancti Didaci ChaldaeorumKatolik LokasiNegaraAmerika SerikatWilayahAmerika Serikat BaratProvinsi gerejawiSubyek langsung Tahta SuciInformasiDenominasiKatolikGereja sui iurisGereja Katolik KaldeaRitusRitus KaldeaPendirian21 Mei 2002KatedralKatedral Santo PetrusKepemimpinan kiniPausFransiskusPatriarkLouis Raphaël I SakoUskupEmanuel Hana ShaletaSitus webhttp://www.kaldu.org Eparki Santo Petrus Rasul (Latin:...

Komponen abiotik

Abiotik adalah istilah yang biasanya digunakan untuk menyebut sesuatu yang tidak hidup (benda-benda mati). Komponen abiotik merupakan komponen penyusun ekosistem yang terdiri dari benda-benda tak hidup. Secara terperinci, komponen abiotik merupakan keadaan fisik dan kimia di sekitar organisme yang menjadi medium dan substrat untuk menunjang berlangsungnya kehidupan organisme tersebut[1]. Beberapa contoh komponen abiotik adalah air, udara, cahaya matahari, tanah, topografi, dan iklim. ...

الدوري الجورجي الممتاز 1992–93

يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (نوفمبر 2019) الدوري الجورجي الممتاز 1992–93 تفاصيل الموسم الدوري الجورجي الممتاز النسخة 4 البلد جورجيا التاري...

Irawan Raharja

Irawan RaharjaLahirIrawan Raharja30 September 1985 (umur 38)Bogor, IndonesiaPekerjaanPelawak tunggal, Rapper Irawan Raharja (lahir 30 September 1985) adalah seorang Rapper dan pelawak tunggal berkebangsaan Indonesia. Irawan dikenal sebagai salah satu kontestan Stand Up Comedy Indonesia musim kedua yang diadakan pada tahun 2012. Badannya yang besar serta memakai pakaian dan atribut yang ukurannya kebesaran, yang umum merupakan ciri khas anak Hip-Hop, lalu tampil membawakan materi dengan ...

Oliver Smithies

Oliver SmithiesSmithies at the Universidade de São Paulo in 2008Lahir23 Juni 1925 (umur 98)Halifax, West Yorkshire, InggrisKebangsaanBritania Raya, Amerika SerikatAlmamaterBalliol College, Universitas OxfordDikenal atasGel electrophoresis, gene targetingPenghargaanAlbert Lasker Award for Basic Medical Research (2001)Penghargaan Wolf dalam kedokteran]] (2002) Penghargaan Nobel dalam Fisiologi atau Kedokteran (2007)Karier ilmiahBidangBiokimia, genetikaInstitusiUniversitas TorontoUniversi...

Viverrinae

Subfamily of carnivores This article is about an extant subfamily of mammals. For the extinct subfamily, see Viverravinae. ViverrinaeTemporal range: Miocene–Present[1] PreꞒ Ꞓ O S D C P T J K Pg N African civet (Civettictis civetta) Scientific classification Domain: Eukaryota Kingdom: Animalia Phylum: Chordata Class: Mammalia Order: Carnivora Suborder: Feliformia Family: Viverridae Subfamily: ViverrinaeGray, 1864 Genera CivettictisViverraViverricula†Semigenetta The Viverrinae r...

List of Malayalam films of the 1990s

Malayalam cinema Before 1960 1960s 1960 1961 1962 1963 19641965 1966 1967 1968 1969 1970s 1970 1971 1972 1973 19741975 1976 1977 1978 1979 1980s 1980 1981 1982 1983 19841985 1986 1987 1988 1989 1990s 1990 1991 1992 1993 19941995 1996 1997 1998 1999 2000s 2000 2001 2002 2003 20042005 2006 2007 2008 2009 2010s 2010 2011 2012 2013 20142015 2016 2017 2018 2019 2020s 2020 2021 2022 2023 2024 vte The following is a chronological list of films in the Malayalam cinema and language released in the 19...

Horta Museum

Historic Art Nouveau house and UNESCO World Heritage Site in Brussels, Belgium Horta MuseumMusée Horta (French)Hortamuseum (Dutch)Main façade of the Horta MuseumGeneral informationTypeTown house and workshopArchitectural styleArt NouveauAddressRue Américaine / Amerikaansestraat 23–25Town or city1060 Saint-Gilles, Brussels-Capital RegionCountryBelgiumCoordinates50°49′27″N 4°21′17″E / 50.82417°N 4.35472°E / 50.82417; 4.35472Construction started...

Голубянки

Голубянки Самец голубянки икар Научная классификация Домен:ЭукариотыЦарство:ЖивотныеПодцарство:ЭуметазоиБез ранга:Двусторонне-симметричныеБез ранга:ПервичноротыеБез ранга:ЛиняющиеБез ранга:PanarthropodaТип:ЧленистоногиеПодтип:ТрахейнодышащиеНадкласс:ШестиногиеКласс...

美国众议院

此條目需要补充更多来源。 (2021年7月4日)请协助補充多方面可靠来源以改善这篇条目，无法查证的内容可能會因為异议提出而被移除。致使用者：请搜索一下条目的标题（来源搜索：美国众议院 — 网页、新闻、书籍、学术、图像），以检查网络上是否存在该主题的更多可靠来源（判定指引）。美國眾議院 United States House of Representatives第118届美国国会众议院徽章众议院旗...

SMK Negeri 1 Gunungsitoli

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada Desember 2022. SMK NEGERI 1 GUNUNGSITOLIInformasiJurusan atau peminatanTeknik Komputer dan Jaringan, Administrasi Perkantoran, Usaha Perjalanan Wisata, Tata Boga,Agrobisnis Tanaman pangan dan Holtikultura, Agribisnis Aneka Ternak, Busana ButikAlamatLokasiJalan Teuku...

Ніжин (авіабаза)

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Ніжин (значення). Ніжин ІАТА: немає • ICAO: UKRNЗагальні дані 51°05′20″ пн. ш. 31°52′13″ сх. д. / 51.08888888891677738° пн. ш. 31.870277777805779° сх. д. / 51.08888888891677738; 31.870277777805779Координати: 51°05′20″ пн. ш. 31...

The Little Devil

1988 Italian comedy film by Roberto Benigni The Little DevilDirected byRoberto BenigniWritten byGiuseppe Bertolucci (story)Vincenzo CeramiRoberto BenigniProduced byMauro BerardiMario Cecchi GoriVittorio Cecchi GoriStarringRoberto BenigniWalter MatthauCinematographyRobby MüllerEdited byNino BaragliMusic byEvan LurieProductioncompanyCecchi Gori GroupDistributed byColumbia Tri-Star Films ItaliaRelease date October 14, 1988 (1988-10-14) Running time110 min.CountryItalyLanguagesIta...

Kuwait Airways

Kuwait Airwaysالخطوط الجوية الكويتيةal-Khuṭūṭ al-Jawiyyah al-Kuwaītiyyah IATA ICAO Kode panggil KU KAC KUWAITI Didirikan1953; 71 tahun lalu (1953) (sebagai Kuwait National Airways)Mulai beroperasi16 Maret 1954 (1954-03-16)PenghubungBandar Udara Internasional KuwaitProgram penumpang setiaOasis ClubArmada32Tujuan34Kantor pusatKegubernuran Al-Farwaniyah, KuwaitTokoh utama Ali Al-Dukhan (Ketua)[1] Maen Razouqi (Dirut) [2] Capt. Essa Al-Hadad (Di...

Critics' Choice Television Award for Best Supporting Actress in a Movie/Miniseries

Critics' Choice Television Award for Best Supporting Actress in a Limited Series or Movie Made for TelevisionThe 2024 recipient: Maria BelloCountryUnited StatesPresented byCritics Choice AssociationFirst awarded2013Currently held byMaria Bello – Beef (2024)Websitecriticschoice.com The Critics' Choice Television Award for Best Supporting Actress in a Movie/Miniseries is one of the award categories presented annually by the Critics' Choice Television Awards (BTJA) to recognize the work done b...

List of Sailor Moon Crystal episodes

Japanese promotional poster for the first season of Sailor Moon Crystal Sailor Moon Crystal, known as Pretty Guardian Sailor Moon Crystal (美少女戦士セーラームーンCrystal（クリスタル）, Bishōjo Senshi Sērā Mūn Kurisutaru) in Japan, is a Japanese anime series based on the shōjo manga series Sailor Moon written and illustrated by Naoko Takeuchi and produced in commemoration of the original series' 20th anniversary.[1] Directed by Munehisa Sakai at Toei Animation...

1994 Spanish motorcycle Grand Prix

1994 Spanish Grand PrixRace detailsRace 4 of 14 races in the1994 Grand Prix motorcycle racing seasonDate8 May 1994Official nameGran Premio de España[citation needed]LocationCircuito de JerezCoursePermanent racing facility4.428 km (2.751 mi)MotoGPPole positionRider Kevin SchwantzTime 1:43.944Fastest lapRider Kevin SchwantzTime 1:44.168 on lap 27PodiumFirst Mick DoohanSecond Kevin SchwantzThird John Kocinski250 ccPole positionRider Loris CapirossiTime 1:44.928Fast...

Akuarium

Siklus nutrisi dan energi yang ada di akuarium:1. Pakan diberikan ke ikan2 & 3. Amonia hasil metabolisme ikan diproses bakteri nitrifikasi4. Nitrat diserap tumbuhan air5. Air menguap dari permukaan air akuarium6. Cahaya matahari diserap tumbuhan air7. Detritivora memakan feses ikan dan bagian tumbuhan yang telah mati8. Tumbuhan air melepaskan oksigen9. Tumbuhan air menyerap karbon dioksida Akuarium atau tirtalaya adalah sebuah vivarium yang memiliki setidaknya satu sisi transparan yang di...

Shuntarō Tanikawa

Japanese poet Shuntarō Tanikawa谷川俊太郎Shuntarō Tanikawa, 2015Born (1931-12-15) December 15, 1931 (age 92)Suginami, JapanNationalityJapaneseOccupation(s)Poet and authorNotable workTwo Billion Light Years of Solitude (1952)Spouse(s)Eriko Kishida (married 1954-1955) Tomoko Okubo (married 1957-1989) Yōko Sano (married 1990-1996)ChildrenKensaku Tanigawa [ja]ParentTetsuzō Tanikawa (father) Shuntarō Tanikawa (谷川俊太郎, Tanikawa Shuntarō) (born December 15, 193...

List of works by William Hogarth

This is a list of works by William Hogarth by publication date (if known). As a printmaker Hogarth often employed other engravers to produce his work and frequently revised his works between one print run and the next, so it is often difficult to accurately differentiate between works by (or for) Hogarth and those in the style of or after. Some of the less likely, possible, doubtful works and those formerly identified as Hogarth's works are listed at the end. Numbers in square brackets refer...

/profillengkap.com/index.php/article/Kiryat Luza

/profillengkap.com/index.php/article/King (playing card)

FlordeLiza

Karangrejo, Bancar, Tuban

جون داينهام (بارون داينهام الأول)

Template talk:Taney Court

Runabout (Star Trek)

Chahan (makanan)

2017 Hong Kong Tennis Open – Doubles

Bolesław Zapomniany

Akira Yoshino

Kumarkhand (community development block)