Le théorème de Buchdahl (en anglais : Buchdahl theorem) est le théorème qui énonce qu'en relativité générale, la compacité maximale ${\displaystyle C}$ d'un objet de fluide parfait, à symétrie sphérique et statique est : ${\displaystyle C={\frac {GM}{Rc^{2}}}={\frac {4}{9}}}$, où ${\displaystyle M}$ et ${\displaystyle R}$ sont respectivement la masse et le rayon de l'objet et où ${\displaystyle G}$ et ${\displaystyle c}$ sont respectivement la constante gravitationnelle et la vitesse de la lumière dans le vide^[1]. Le rayon ${\displaystyle R={\frac {9GM}{4c^{2}}}}$ est dit rayon de Buchdahl^[2]. Ce théorème montre qu'en relativité générale, une boule de rayon fixé ne peut contenir qu'une masse limitée^[3],[4]. Un énoncé alternatif de ce théorème est que le décalage gravitationnel vers le rouge depuis la surface d'une étoile statique ne peut être supérieur à 2^[4],[5],[6]. Un corollaire de ce théorème est qu'en relativité générale, il existe un écart (gap) de compacité entre une étoile de fluide parfait et un trou noir dont la compacité est ${\displaystyle C={\frac {1}{2}}}$^[1].

En 1916, Karl Schwarzschild (1873-1919) publie successivement^[7],[8] deux métriques, solutions exactes de l'équation tensorielle fondamentale de la relativité générale d'Albert Einstein^[9]. Ensemble, elles permettent de modéliser le champ gravitationnel à l'extérieur, à la surface et à l'intérieur d'une étoile telle que le Soleil. L'étoile est modélisée comme une boule de fluide parfait à densité constante, c'est-à-dire incompressible. La métrique externe s'applique à l'extérieur de l'étoile^[9] ; la métrique interne, à l'intérieur de celle-ci^[9]. Les deux métrique sont raccordables à la surface de l'étoile. Schwarzschild met en évidence que le rayon de l'étoile doit être supérieur à ⁹⁄₈ fois son rayon de Schwarzschild^[10].

L'éponyme du théorème de Buchdahl^[11],[12] est Hans A. Buchdahl (en) (1919-2010) qui a mis l'inégalité en évidence en 1959^[12],[13].

Le théorème de Buchdahl est aussi désigné comme l'inégalité de Buchdahl (en anglais : Buchdahl inequality^[14]) et comme la limite de Buchdahl (Buchdahl limit^[15]).

L'inégalité s'écrit :

${\displaystyle {\frac {2GM}{c^{2}R}}<{\frac {8}{9}}}$

ou

${\displaystyle {\frac {GM}{c^{2}R}}<{\frac {4}{9}}}$,

avec :

• ${\displaystyle M}$, la masse de l'objet ;
• ${\displaystyle R}$, le rayon de l'objet ;
• ${\displaystyle G}$, la constante gravitationnelle ;
• ${\displaystyle c}$, la vitesse de la lumière dans le vide.

En unités géométriques, c'est-à-dire avec :

${\displaystyle c=G=1}$,

l'inégalité s'écrit :

${\displaystyle {\frac {2M}{R}}<{\frac {8}{9}}}$,

ou

${\displaystyle {\frac {M}{R}}<{\frac {4}{9}}}$.

Un objet qui ne vérifie pas la relation s'effondre gravitationnellement.

Le théorème est basé sur les hypothèses suivantes : l'étoile est statique^[16] et à symétrique sphérique^[16] ; son intérieur est décrit par un fluide parfait^[16] de densité d'énergie ${\displaystyle \epsilon }$ positive^[16] et de pression ${\displaystyle p}$ positive^[16], et dont la densité d'énergie est une fonction monotone décroissante de la coordonnée radiale ${\displaystyle r}$^[16] :

${\displaystyle \epsilon \geq 0,\qquad p\geq 0,\qquad {\frac {\mathrm {d} \epsilon }{\mathrm {d} r}}\leq 0}$^[17].

Le théorème a été étendu afin d'inclure à la fois une charge et une constante cosmologique^[18]. Il a été étendu à des espaces-temps de plus de quatre dimensions^[18] incluant une constante cosmologique non nulle^[18]. Il a été généralisé en gravitation en ${\displaystyle f(R)}$^[18].

 : document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.

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• [Schwarzschild 1916b] (de) Karl Schwarzschild, « Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie » [« Sur le champ gravitationnel d'une sphère de fluide incompressible selon la théorie d'Einstein »], Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften,‎ mars 1916, p. 424-434 (OCLC 1181956496, Bibcode 1916skpa.conf..424S, lire sur Wikisource, lire en ligne).
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