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En science actuarielle et en probabilités, la théorie de la ruine (parfois la théorie du risque ^[1] ) étudie et met au point des modèles mathématiques permettant d'évaluer la vulnérabilité d'un assureur et d'optimiser la gestion d'une assurance.

Le fondement théorique de la théorie de la ruine, connu sous le nom de modèle Cramér-Lundberg (ou modèle classique) a été introduit en 1903 par l'actuaire suédois Filip Lundberg et son travail a été réédité dans les années 1930 par Harald Cramér^[2].

Le modèle décrit une compagnie d’assurance confrontée à deux flux de trésorerie opposés : les primes en espèces entrantes et les sinistres sortants. Les primes arrivent à un taux constant c > 0 des clients et les réclamations arrivent selon un processus de Poisson ${\displaystyle N_{t}}$ d'intensité λ et sont des variables aléatoires non négatives indépendantes et distribuées de manière identique ${\displaystyle \xi _{i}}$ de distribution F et de moyenne μ (ils forment un processus de Poisson composé ). Ainsi, pour un assureur qui démarre avec un excédent initial u, l'actif total ${\displaystyle R_{t}}$ sont donnés par ^[3]:

${\displaystyle X(t)=x+ct-\sum _{i=1}^{N_{t}}\xi _{i}\quad {\text{ avec t}}\geq 0.}$

L'objectif central du modèle est d'étudier la probabilité que le niveau d'excédent de l'assureur finisse par tomber en dessous de zéro (ce qui entraînerait la faillite de l'entreprise). Cette quantité, appelée probabilité de ruine (en temps infini), est définie comme

${\displaystyle \psi (x)=\mathbb {P} \{\inf _{t\geq 0}\ X(t)<0|X(0)=x\}}$

avec la convention selon laquelle ${\displaystyle \inf \varnothing =\infty }$ . Cela peut être calculé exactement en utilisant la formule de Pollaczek – Khinchine ^[4] (la fonction de ruine ici est équivalente à la fonction de queue de la distribution stationnaire du temps d'attente dans une file d'attente M/G/1 ^[5] )

${\displaystyle \psi (x)=\left(1-{\frac {\lambda \mu }{c}}\right)\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\lambda \mu }{c}}\right)^{n}(1-F_{l}^{\ast n}(x))}$

où ${\displaystyle F_{l}}$ est la transformée de la distribution de queue de ${\displaystyle F}$ ,

${\displaystyle F_{l}(x)={\frac {1}{\mu }}\int _{0}^{x}\left(1-F(u)\right){\text{d}}u}$

Et ${\displaystyle \cdot ^{\ast n}}$ désigne le produit de convolution itéré n fois. Dans le cas où la taille des sinistres est distribuée de manière exponentielle, cela se simplifie en ^[5]

${\displaystyle \psi (u)={\frac {\lambda \mu }{c}}e^{-\left({\frac {1}{\mu }}-{\frac {\lambda }{c}}\right)u}.}$

• Modèle de risque composé-Poisson à intérêt constant
• Modèle de risque composé-Poisson avec intérêt stochastique
• Modèle de risque de mouvement brownien
• Modèle général du processus de diffusion
• Modèle de risque modulé par Markov
• Calculateur du facteur de probabilité d’accident (APF) – modèle d’analyse des risques (@SBH)

• Risque financier
• Équation intégrale de Volterr

• Portail des probabilités et de la statistique