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En mathématiques, le théorème de F. et M. Riesz est un résultat des deux frères Frigyes Riesz et Marcel Riesz sur les mesures analytiques, selon lequel pour une mesure complexe μ sur le cercle, toute partie de μ qui n'est pas absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue dθ peut être détectée à l'aide des coefficients de Fourier.

Plus précisément, il établit que si les coefficients de Fourier-Stieltjes de μ,

${\displaystyle {\hat {\mu }}_{n}=\int _{[0,2\pi ]}{\rm {e}}^{-in\theta }~{\frac {\mathrm {d} \mu (\theta )}{2\pi }},}$

sont nuls pour tous les indices ${\displaystyle n<0}$, alors μ est absolument continue par rapport à dθ.

Les énoncés originaux sont assez différents^[1]. Cette formulation-ci est celle de Rudin^[2], dont la preuve utilise le noyau de Poisson et l'existence de valeurs au bord pour l'espace de Hardy H¹.

• (de) F. et M. Riesz, « Über die Randwerte einer analytischen Funktion », dans Quatrième congrès des mathématiciens scandinaves, Stockholm, 1916, p. 27-44

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « F. and M. Riesz theorem » (voir la liste des auteurs).

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