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En mathématiques et en informatique, un tableau triangulaire de nombres, ou de polynômes est une suite doublement indexée dans laquelle chaque ligne a une longueur proportionnelle à son ordre.

Présentation

Présentation matricielle

Dans de nombreux cas, il s'agit d'une suite $(T_{n,k})$ définie pour les entiers $n,k$ vérifiant $0\leqslant k\leqslant n$ .

La ligne d'indice $n$ (d'ordre $n+1$ ) est alors le $n+1$ -uplet $(T_{n,0},...,T_{n,n})$ , et la colonne d'indice $k$ (d'ordre $k+1$ ) est la suite $(T_{n,k})_{n\geqslant 0}$ .

k n	0	1
0	$T_{0,0}$
1	$T_{1,0}$	$T_{1,1}$
2	etc.

La suite $(T_{n,k})$ peut plus généralement être définie pour d'autres valeurs de $k$ que celles vérifiant $0\leqslant k\leqslant n$ , voir par exemple le triangle trinomial.

Présentation pyramidale

Les lignes sont présentées de façon symétrique par rapport à leur centre, comme par exemple ci-dessous :

Les "colonnes" sont alors parallèles au côté gauche.

Exemples

Parmi les exemples notables, on peut citer :

Le triangle de Bell, dont les termes dénombrent certaines partitions d'un ensemble^[1].
Le triangle de Bernoulli, donnant les sommes partielles des lignes du triangle de Pascal.
Le triangle du boustrophédon permettant d'obtenir les développements de fonctions tangente et sécante.
Le triangle de Catalan^[2].
le triangle de Delannoy.
Le triangle des dérangements partiels.
Le triangle d'Euler, dont les termes dénombrent les permutations avec un certain nombre de montées^[3].
Le triangle fibonomial.
Le triangle de Floyd (en), dont les entrées sont les entiers dans l'ordre^[4].
Le triangle harmonique de Leibniz.
Le triangle d'Hosoya (en), basé sur les nombres de Fibonacci^[5].
Le triangle des nombres hyperoctaédriques.
Le triangle de Lah.
Le triangle de Lozanić (en), utilisé dans les mathématiques des composés chimiques^[6].
Le triangle de Narayana^[7].
Le triangle des nombres de partitions d'un entier en k parties
Le triangle de Pascal, dont les entrées sont les coefficients binomiaux^[8].
Le triangle de Pascal (2,1).
Le q-analogue du triangle de Pascal.
Le triangle de Rascal
Le triangle des nombres de surjections
Les triangles des nombres de Stirling (de première et deuxième espèce).
Le triangle trinomial (où la longueur de chaque ligne est le double de son ordre moins 1)

Généralisations

Les tableaux triangulaires peuvent énumérer des objets mathématiques autres que des nombres ; par exemple, les polynômes de Bell forment un tableau triangulaire dans lequel chaque entrée est un polynôme^[9].

Une suite triplement indexée peut être représentée en tétraèdre, comme par exemple le tétraèdre de Pascal, et une suite à d indices, représentée par un d-simplexe.

Applications

Outre la représentation des matrices triangulaires, les tableaux triangulaires sont utilisés dans plusieurs algorithmes. Un exemple est l'algorithme CYK pour l'analyse de grammaires non-contextuelles, un exemple de programmation dynamique^[10].

La méthode de Romberg peut être utilisée pour estimer la valeur d'une intégrale définie en remplissant les valeurs dans un triangle de nombres^[11].

La transformation du Boustrophédon utilise un tableau triangulaire pour transformer une suite d'entiers en une autre^[12].

Articles connexes

Nombre triangulaire

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Triangular array » (voir la liste des auteurs).

↑ Jeffrey Shallit, A collection of manuscripts related to the Fibonacci sequence, Santa Clara, Calif., Fibonacci Association, 1980, 69–71 p. (MR 624091, lire en ligne), « A triangle for the Bell numbers ».
↑ Sergey Kitaev et Jeffrey Liese, « Harmonic numbers, Catalan's triangle and mesh patterns », Discrete Mathematics, vol. 313,‎ 28 juillet 2013, p. 1515–1531 (DOI 10.1016/j.disc.2013.03.017, MR 3047390).
↑ Daniel J. Velleman et Gregory S. Call, « Permutations and combination locks », Mathematics Magazine, vol. 68,‎ octobre 1995, p. 243–253 (DOI 10.2307/2690567, MR 1363707).
↑ Philip L. Miller, Lee W. Miller et Purvis M. Jackson, Programming by Design : A First Course in Structured Programming, Wadsworth Pub. Co., 1987, 567 p. (ISBN 978-0-534-08244-4)
↑ Haruo Hosoya, « Fibonacci triangle », The Fibonacci Quarterly, vol. 14,‎ 1976, p. 173–178.
↑ S. M. Losanitsch, « Die Isomerie-Arten bei den Homologen der Paraffin-Reihe », Chemische Berichte, vol. 30,‎ 1897, p. 1917–1926 (DOI 10.1002/cber.189703002144)
↑ Paul Barry, « On a generalization of the Narayana triangle », Journal of Integer Sequences, vol. 14,‎ 2011, Article 11.4.5, 22 (MR 2792161).
↑ A. W. F. Edwards, Pascal's Arithmetical Triangle : The Story of a Mathematical Idea, JHU Press, 2002, 202 p. (ISBN 978-0-8018-6946-4, lire en ligne).
↑ Samuel Rota Bulò, Edwin R. Hancock, Furqan Aziz et Marcello Pelillo, « Efficient computation of Ihara coefficients using the Bell polynomial recursion », Linear Algebra and its Applications, vol. 436,‎ 2012, p. 1436–1441 (DOI 10.1016/j.laa.2011.08.017, MR 2890929).
↑ Nitin Indurkhya (dir.) et Fred J. Damerau (dir.), Handbook of Natural Language Processing, Second Edition, CRC Press, 2010, 704 p. (ISBN 978-1-4200-8593-8, lire en ligne), p. 65.
↑ Henry C. Thacher, Jr., « Remark on Algorithm 60 : Romberg integration », Communications of the ACM, vol. 7,‎ juillet 1964, p. 420–421 (DOI 10.1145/364520.364542, lire en ligne).
↑ Jessica Millar, N. J. A. Sloane et Neal E. Young, « A new operation on sequences : the Boustrouphedon transform », Journal of Combinatorial Theory, vol. 76,‎ 1996, p. 44–54 (DOI 10.1006/jcta.1996.0087, arXiv math.CO/0205218)