Exemple des triangles de construction de Wythoff avec les 7 points générateurs. Les droites des miroirs actifs sont colorés en rouge, jaune et bleu avec les 3 nœuds qui leur sont opposés associés par le symbole de Wythoff.
Le symbole de Wythoff donne 3 nombres p,q,r et une barre verticale positionnelle (|) qui sépare les nombres avant et après elle. Chaque nombre représente l'ordre des miroirs à un sommet du triangle fondamental.
Chaque symbole représente un polyèdre uniforme ou un pavage, bien qu'un même polyèdre/pavage puisse avoir des symboles de Wythoff différents à partir de générateurs symétriques différents. Par exemple, le cube régulier peut être représenté par 3 | 4 2 avec une symétrie Oh et 2 4 | 2 comme un prisme carré avec deux couleurs et une symétrie D4h, autant que 2 2 2 | avec 3 couleurs et une symétrie D2h.
Tableau de résumé
Il existe 7 points générateurs avec chaque ensemble de p,q,r : (et quelques formes particulières)
Les 8 formes pour les constructions de Wythoff à partir d'un triangle général (p q r).
Il existe trois cas particuliers :
p q (r s) | - C'est un mélange de p q r | et p q s |.
| p q r - Les formes adoucies (alternées) donnent cet autre symbole inhabituel.
| p q r s - Une forme unique adoucie pour le U75 qui n'est pas constructible au sens de Wythoff.
Description
Les lettres p,q,r représentent la forme du triangle fondamental pour la symétrie, plus précisément chaque nombre est le nombre de miroirs réflexifs qui existent à chaque sommet. Sur la sphère, il existe trois types principaux de symétries : (3 3 2), (4 3 2), (5 3 2) et une famille infinie (p 2 2), pour p = 2, 3, … quelconque (toutes les familles simples ont un angle droit, donc r=2)
La position de la barre verticale dans le symbole est utilisée pour indiquer des formes spécifiques (une position de catégorie du point générateur) dans le triangle fondamental. Le point générateur peut être soit sur ou à côté de chaque miroir, activé ou non. Cette distinction engendre 8 (2³) formes possibles, négligeant une où le point générateur est sur tous les miroirs.
Dans cette notation, les miroirs sont étiquetés pr l'ordre de réflexion du sommet opposé. Les valeurs p,q,r sont listées avant la barre si le miroir correspondant est actif.
Le symbole impossible| p q r, qui implique le point générateur est sur tous les miroirs qui est le seul possible si le triangle est généré en un point. Ce symbole inusité est réassigné pour signifier quelque chose de différent. Ces symboles représentent le cas où tous les miroirs sont actifs, mais les images réfléchies énumérées de manière impaire sont ignorées. Ceci engendre des résultats de symétrie rotationnelle.
Ce symbole est fonctionnellement similaire au diagramme de Coxeter-Dynkin plus général qui montre un triangle marqué p, q, r sur les arêtes, et des cercles sur les nœuds, représentant les miroirs pour impliquer si le point générateur touchait ce miroir (le diagramme de Coxeter-Dynkin est montré comme un graphe linéaire lorsque r=2 puisqu'il n'y a pas de réflexions interagissant à travers un angle droit).
Les triangles de symétrie
Il existe 4 classes de symétrie de réflexions sur la sphère, et 2 pour le plan euclidien et une famille infinie pour le plan hyperbolique, les premières :
Les pavages sont montrés comme des polyèdres. Certaines de ces formes sont dégénérées, données par des accolades des figures de sommet, avec les arêtes ou les sommets de recouvrement.
