Après avoir joué en junior puis en ligue senior amateur à Calgary, Finney commence sa carrière professionnelle avec les Black Hawks de Chicago dans la Ligue nationale de hockey (LNH) en 1951. Il ne joue que 59 matchs dans la LNH, faisant ensuite une longue carrière dans la Western Hockey League, essentiellement avec les Stampeders de Calgary. Il arrête sa carrière professionnelle en 1964 mais pas pour autant de jouer au hockey et, en 1965-66 avec les Rockets de Drumheller, il remporte la coupe Allan de la meilleure équipe amateur canadienne.