Rory Darge est formé à l'Édimbourg Rugby, avec qui il signe son premier contrat professionnel en juillet 2020[1]. Il fait ses débuts avec Édimbourg le 16 novembre 2020 face au Leinster en Pro14[2].
En avril 2021, les Glasgow Warriors annoncent le recrutement de Darge pour la saison suivante[3].
En juillet 2021, il est appelé pour la première fois en équipe d'Écosse pour la tournée de match amicaux d'été[5]. Il fait ses débuts avec le XV du Chardon lors du Tournoi des Six Nations face au pays de Galles le 12 février 2022 (défaite 20-17)[6]. Il inscrit son premier essai international face à la France le 26 février (défaite 17-36).
Au mois de , il est sélectionné pour le Tournoi des Six Nations[8]. Quelques jours après cette convocation, il est nommé co-capitaine de la sélection écossaise en compagnie de Finn Russell[9]. Durant la suite de la saison 2023-2024, les Glasgow Warriors se qualifient en finale du championnat après avoir éliminé le Munster en demi-finale[10]. En finale contre les Bulls, Rory Darge est titulaire en troisième ligne avec Matt Fagerson et Jack Dempsey et son équipe s'impose 21 à 16, remportant la compétition pour la deuxième fois de son histoire après 2015[11],[12].
