Il monte sur son premier podium de coupe du monde en terminant troisième du slalom de Saint-Moritz en [10],[11]. Il participe à ses premiers championnats du monde en à Panorama au Canada[12]. Durant ces mondiaux, il est éliminé en géant et se déchire le ligament croisé antérieur du genou droit lors du slalom qu'il ne termine également pas[11]. Cette blessure l'oblige à une saison - blanche[2].
Lors des championnats du monde de 2017 qui se déroulent à Tarvisio en Italie, il termine sixième de la descente[13] et du super G[14]. Il remporte ensuite sa première médaille mondiale en terminant deuxième du super combiné[15] avant de finir ses mondiaux en terminant neuvième du géant[16]. Ses résultats durant l'année , et notamment cette médaille d'argent mondiale, lui permettent d'être élu sportif neuchâtelois de l'année[17].
Il est sélectionné pour les jeux paralympiques de Pyeongchang en [18]. Juste avant ces joutes en Corée du Sud, Robin Cuche monte sur le podium en coupe du monde en super G à Kimberley au Canada[19]. En Corée du Sud, il termine tout d'abord huitième de la descente[20] avant d'être éliminé en super G[20], en super combiné[21], en géant[22] et en slalom[22].
La saison suivante, lors de laquelle il se consacre exclusivement à la pratique de son sport[5], il participe aux championnats du monde à Sella Nevea (Italie) et Kranjska Gora (Slovénie)[23]. Il a renoncé à prendre le départ du géant en raison d'un mal de dos « atroce »[5] avant de prendre la septième place du slalom[24] puis la neuvième de la descente[25], la sixième du super G[26] et la quatrième du super combiné[27].
En , il estime que les jeux paralympiques de Pékin en pourraient être ses derniers[6]. Sélectionné pour ces jeux[28], il revient sans médaille en terminant onzième de la descente[29], sixième du super G[30] et huitième du super combiné[31] avant d'abandonner en géant à cause de douleurs au genou[32] et d'abandonner également en slalom[22]. Il est le porte-drapeau suisse lors de la cérémonie de clôture de ces jeux[33]. À l'issue de la saison, il se dit « las de ce système qui ne lui laisse quasiment aucune chance »[34].
À l'entame de la saison -, il change de catégorie de handicap[35]. Il remporte ses quatre premières courses de coupe du monde à Veysonnaz en s'imposant lors des trois géants et du slalom au programme[35]. Lors des championnats du monde2023 d'Espot en Espagne, il remporte trois médailles d'argent en super G[36], puis en super combiné[37] et en descente[38] avant de connaître l'élimination en géant[39] et en slalom[22].
