Restriction (mathématiques)

Pour les articles homonymes, voir Restriction.

En mathématiques, la restriction d'une fonction $f$ est une fonction, souvent notée $f | A$ ou $f{\upharpoonright _{A}}$ , pour laquelle on ne considère que les valeurs prises par $f$ sur un domaine $A$ inclus dans le domaine de définition de $f$ .

Définition

Soit $f : E \to F$ une fonction sur un ensemble $E$ vers un ensemble $F$ . Si on prend $A$ , un sous-ensemble de $E$ , alors la restriction de $f$ sur $A$ est la fonction^[1] :

{f|}_{A}\ \colon \ {\begin{aligned}F&\to A\\x&\mapsto f|_{A}(x)=f(-x)\end{aligned}}

La restriction de $f$ sur $A$ est donc égale à $f$ sur $A$ , mais non définie sur le reste du domaine de $f$ .

Exemples

La restriction de la fonction non injective $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}$ sur le domaine $\mathbb {R} _{+}=[0,+\infty [$ est la fonction injective $f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}$ .
La factorielle peut être vue comme la restriction de la fonction gamma sur les entiers positifs, avec un décalage à droite :
${\Gamma |}_{\mathbb {Z} ^{+}}\!(n)=(n-1)!$

Propriétés

La restriction d'une fonction à tout son domaine de définition est égale à la fonction elle-même : $f | dom(f) = f$ .
Restreindre deux fois revient à restreindre une seule fois : si $A\subseteq B\subseteq \operatorname {dom} f$ , alors $(f|_{B})|_{A}=f|_{A}$ .
La restriction de la fonction identité sur un ensemble X à un sous-ensemble A de X est simplement l'injection canonique $ι$ de A dans X^[2]^,^[3].
La restriction à A d'une application $f$ définie sur X est alors la composée $f \circ ι$ par $f$ de cette injection $ι$ ^[4].
Par conséquent, la restriction préserve la continuité^[4].

Applications

Fonctions réciproques

Article détaillé : Fonction réciproque.

Pour qu'une fonction ait une réciproque, elle doit être bijective. Si ce n'est pas le cas, on peut alors définir une restriction de la fonction sur un domaine où elle est bijective, et donc y définir une réciproque. Par exemple, la fonction carré :

\forall x\in \mathbb {R} ,f(x)=x^{2}

n'est pas injective (puisqu'on a $f (x) = f (- x)$ . Cependant, en considérant la restriction sur la demi-droite des réels positifs $[0, +\infty[$ , on peut définir la réciproque, la racine carrée :

\forall y\in \mathbb {R} _{+},f^{-1}(y)={\sqrt {y}}.

Les fonctions racines d'une puissance paire, les fonctions arc cosinus et arc sinus, reposent sur le même principe.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Restriction (mathematics) » (voir la liste des auteurs).

↑ (en) Robert Stoll, Sets, Logic and Axiomatic Theories, Freeman, p. 5.
↑ Paul Halmos, Introduction à la théorie des ensembles [détail des éditions], aperçu sur Google Livres.
↑ Saunders MacLane et Garrett Birkhoff (trad. de l'anglais par Jean Weil), Algèbre et solutions développées des exercices : structures fondamentales, les grands théorèmes, théorie de Galois, J. Gabay, 1996 (ISBN 978-2-87647-138-2, OCLC 490130463), p. 8.
↑ ^{a et b} Nawfal El Hage Hassan, Topologie générale et espaces normés : Cours et exercices corrigés, Dunod, 2021, 2^e éd. (1^re éd. 2011) (lire en ligne), p. 20-21.

Portail des mathématiques

Read other articles:

May J Lee

May J Lee May J Lee (lahir 17 Mei 1989) adalah seorang koreografer Korea Selatan. Ia dikenal karena bekerjasama dengan artis-artis populer seperti Girls' Generation, 2NE1, dan Jay Park.[1] Ia juga terpilih sebagai mentor dalam acara Produce 48.[2] Referensi ^ Inilah 8 Koreografer Paling Ikonik di K-Pop!. Nusantara62. ^ Siapa Saja yang Akan Jadi Mentor Acara Produce 48 dari Mnet?. Kumparan.com. Artikel bertopik biografi Korea Selatan ini adalah sebuah rintisan. Anda...

Braunschweiggasse (U-Bahn Wina)

BraunschweiggasseLokasiHietzingWinaAustriaJalurOperasi layanan Stasiun sebelumnya U-Bahn Wina Stasiun berikutnya Unter St. Veitmenuju Hütteldorf Jalur U4Hietzingmenuju Heiligenstadt Sunting kotak info • L • BBantuan penggunaan templat ini Braunschweiggasse adalah stasiun metro yang terletak di Jalur U4 pada U-Bahn Wina.[1] Stasiun ini terletak di distrik Hietzing dan dibuka secara resmi pada 20 Desember 1981. Referensi ^ Line U4 Heiligenstadt - Hütteldorf...

Fabrizio Castori

Fabrizio Castori Castori nel 2021 Nazionalità Italia Altezza 165 cm Calcio Ruolo Allenatore (ex centrocampista) Termine carriera 1982 - giocatore Carriera Giovanili 1969-1973 Settempeda1973-1974 Maceratese Squadre di club1 19??-19?? Corridonia? (?)1981-1982 San Vicino? (?) Carriera da allenatore 1980-1981 Belfortese1981-1982 San Vicino1982-1983 Urbisaglia1983-1984 TolentinoGiovanili1984-1985 Belfortese1985-1987 Camerino1987-1988 Grottese1988-1991 Cerreto1991-1992 Montur...

Anna dari Kiev

Anne dari KievRatu PrancisPeriode1051–1060Informasi pribadiPemakamanBiara Villiers, La-Ferte-Alais, EssonneWangsaIstana CapetAyahYaroslav I dari KievIbuIngegerd dari SwediaPasanganHenry I dari PrancisAnakPhilip I dari PrancisHugh dari Vermandois Foto Anne: АNА РЪНNА yang dianggap baik sebagai Ane reine di dalam bahasa Prancis Kuno atau Anna regina di dalam bahasa Latin; di antara contoh-contoh tertua naskah Cyrillic Anne dari Kiev (atau Anna Yaroslavna) (antara tahun 1024 dan 1032 –...

Jantar Mantar (Jaipur)

Turis berkumpul di Jantar Mantar Jantar MantarSitus Warisan Dunia UNESCOKriteriaCultural: iii, ivNomor identifikasi1338Pengukuhan2010 (ke-34) Jantar Mantar adalah koleksi instrunem arsitektur astronomi yang dibangun oleh Maharaja Jai Singh II di kota Jaipur antara tahun 1727 sampai tahun 1733. Namanya berasal dari kata yantra, instrumen, dan mantra. Pada Tahun 2010 Jantar Mantar diterima sebagai Situs Warisan Dunia UNESCO Pranala luar Jantar Mantar (Jaipur) Diarsipkan 2015-12-10 di Wayba...

العلاقات الإكوادورية الوسط إفريقية

العلاقات الإكوادورية الوسط أفريقية الإكوادور جمهورية أفريقيا الوسطى الإكوادور جمهورية أفريقيا الوسطى تعديل مصدري - تعديل العلاقات الإكوادورية الوسط أفريقية هي العلاقات الثنائية التي تجمع بين الإكوادور وجمهورية أفريقيا الوسطى.[1][2][3][4]&#...

Kedutaan Besar Republik Indonesia di Kyiv

Kedutaan Besar Republik Indonesia di KyivПосольство Індонезії в КиєвіKoordinat50°28′09″N 30°29′30″E / 50.469214°N 30.491528°E / 50.469214; 30.491528Lokasi Kyiv, UkrainaAlamat8 Otto Shmidta, 04107, Kyiv, UkrainaDuta BesarArief Muhammad BasalamahYurisdiksi Ukraina Armenia GeorgiaSitus webkemlu.go.id/kyiv/id Kedutaan Besar Republik Indonesia di Kyiv (KBRI Kyiv) (Ukraina: Посольство Індонезії в К�...

Kementerian Jepang

Jepang Artikel ini adalah bagian dari seri Politik dan KetatanegaraanJepang Konstitusi Konstitusi Jepang Sejarah Hukum Monarki Kaisar (daftar) Akihito Putra Mahkota Naruhito Istana Kaisar Badan Rumah Tangga Kekaisaran Badan legislatif Parlemen Jepang Dewan Perwakilan Rakyat Ketua Tadamori Ōshima Wakil Ketua Hirotaka Akamatsu Majelis Tinggi Presiden Chuichi Date Wakil Presiden Akira Gunji Pemimpin Oposisi Yukio Edano Eksekutif Perdana Menteri (daftar) Shinzō Abe Wakil Perdana Menteri Tarō A...

Россотрудничество

Федеральное агентство по делам Содружества Независимых Государств, соотечественников, проживающих за рубежом, и по международному гуманитарному сотрудничествусокращённо: Россотрудничество Общая информация Страна Россия Юрисдикция Россия Дата создания 6 сентября...

Elsa von Freytag-Loringhoven

German artist and poet (1874 –1927) Elsa von Freytag-LoringhovenFreytag-Loringhoven portrait, with ink decoration added by the Baroness, as it appeared in the September–December 1920 Issue (Vol. 7, No. 3) of The Little Review (New York).BornElse Hildegard Plötz12 July 1874Swinemünde, Province of Pomerania, German EmpireDied14 December 1927(1927-12-14) (aged 53)Paris, FranceKnown forPoetry, sound poetryNotable workBody SweatsMovementNew York Dada, avant-gardeSpouse(s)August End...

Shanghai maglev train

Railway line in Shanghai using magnetic levitation train This article is about the Maglev system in Shanghai. For other uses, see SMT (disambiguation). Further information on other modes of public transport in Shanghai: Public transport in Shanghai Shanghai maglev train lineShanghai maglev train lineShanghai maglev trainOverviewOther name(s)Shanghai TransrapidAirport express line (with extension to Hongqiao Railway Station, not to be confused with Airport link)Shanghai-Hangzhou maglev lin...

1864 New York state election

1864 New York gubernatorial election ← 1862 November 8, 1864 1866 → Nominee Reuben E. Fenton Horatio Seymour Party National Union Democratic Popular vote 369,557 352,526 Percentage 50.57% 49.43% Governor before election Horatio Seymour Democratic Elected Governor Reuben E. Fenton National Union Elections in New York State Federal government Presidential elections 1792 1796 1800 1804 1808 1812 1816 1820 1824 1828 1832 1836 1840 1844 1848 1852 1856 1860 1864 1...

Bidet shower

Hand-held triggered nozzle Not to be confused with Bidet. A bidet shower in a hotel bathroom in Helsinki, Finland A bidet shower—also known as a handheld bidet, commode shower, toilet shower, health faucet, bum shower, jet spray, hand shower, Muslim shower, shatafa (from the Arabic: شَطَّافَة [ʃɑtˤˈtˤɑːfɑ], hand showerrinser) or bum gun—is a hand-held triggered nozzle that is placed near the toilet and delivers a spray of water used for anal cleansing and cleaning...

Battle of Richmond

1862 battle of the American Civil War For battles involving Richmond, Virginia, see Raid of Richmond, Peninsula Campaign, and Siege of Petersburg. For battles involving Richmond, Louisiana, see Battle of Richmond, Louisiana. Battle of RichmondPart of the American Civil WarDateAugust 29–30, 1862LocationMadison County,near Richmond, Kentucky37°41′05″N 84°15′34″W / 37.6848°N 84.2594°W / 37.6848; -84.2594Result Confederate victoryBelligerents United States (U...

بالدوين بارك (كاليفورنيا)

بالدوين بارك الاسم الرسمي (بالإنجليزية: Baldwin Park)‏ الإحداثيات 34°04′58″N 117°58′16″W / 34.082777777778°N 117.97111111111°W / 34.082777777778; -117.97111111111 تاريخ التأسيس 1880 تقسيم إداري البلد الولايات المتحدة[1][2] التقسيم الأعلى مقاطعة لوس أنجلوس خصائص جغراف�...

PDP-8

Minicomputer product line PDP-8A PDP-8 on display at The National Museum of Computing in Bletchley, England. This example is from the first generation of PDP-8s, built with discrete transistors and later known as the Straight 8.DeveloperDigital Equipment CorporationProduct familyProgrammed Data ProcessorTypeMinicomputerRelease dateMarch 22, 1965; 59 years ago (1965-03-22)Introductory priceUS$18,500, equivalent to about $178,900 in 2023Units sold50,000+PlatformDEC 12-bitP...

Rally d'Australia 2003

Rally d'Australia 2003 N. 10 su 14 del Campionato del mondo rally 2003 Data dal 4 al 7 settembre 2003 Nome ufficiale 16th Telstra Rally Australia Percorso 386,31 km Superficie Sterrato Prove speciali 24 Equipaggi Partiti: 49Arrivati: 32 Risultati WRC Podio 1. Petter Solberg(Subaru) 2. Sébastien Loeb(Citroën) 3. Richard Burns(Peugeot) Il Rally d'Australia 2003, ufficialmente denominato 16th Telstra Rally Australia, è stata la decima prova del campionato del mondo rally 2003 nonché l...

Rugby Africa

Administrative body for rugby union in Africa Rugby AfricaRugby AfriqueLogo introduced in 2018Formation1986 as CAR2014 Rugby AfricaTypeSports federationHeadquartersTunisMembership 37 unionsPresidentGhana Rugby AssociationHerbert MensahVice PresidentURU Andrew OworTreasurerFIR Dr Elvis TanoSecretarySARU Jurie RouxAffiliationsWorld RugbyWebsiterugbyafrique.com Rugby Africa is the administrative body for rugby union within the continent of Africa under the authority of World Rugby, which is the ...

Popolazione mondiale

Questa voce o sezione deve essere rivista e aggiornata appena possibile. Sembra infatti che questa voce contenga informazioni superate e/o obsolete. Se puoi, contribuisci ad aggiornarla. Mappa della popolazione mondiale nel 2021. Per popolazione umana mondiale si indica il numero complessivo di esseri umani viventi al mondo ad una certa data. La popolazione mondiale ha visto una crescita continua sin dalla fine della piaga della peste nera, nel corso del XIV secolo, con il tasso di crescita ...

Гитлер, Адольф

Запрос «Гитлер» перенаправляется сюда; о других людях с такой фамилией, а также других значениях см. Гитлер (значения).Адольф Гитлернем. Adolf Hitler Официальный портрет. 1938 Фюрер Германии 2 августа 1934 — 30 апреля 1945(и. о. рейхспрезидента 2—19 августа 1934) Предшественник ...