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En géométrie euclidienne du plan, la puissance d'un point $M$ par rapport à un cercle de centre $O$ et de rayon $R$ est un nombre qui indique la position de $M$ par rapport à ce cercle. Elle peut être définie comme $P (M) = OM 2 - R 2$ .

Il existe plusieurs résultats pour différentes formules de calcul de la puissance d'un point, selon la position du point par rapport au cercle. Ils reposent tous sur la construction de droites sécantes au cercle, passant par le point.

La puissance d'un point apparait dans la construction de plusieurs objets géométriques et la démonstration de leurs propriétés, comme l'axe radical de deux cercles, le centre radical de trois cercles ou la construction d'un diagramme de Laguerre.

Le mathématicien Edmond Laguerre a défini la puissance d'un point par rapport à toute courbe algébrique.

Propriété fondamentale et définition

Théorème et définition — Soient $M$ un point, $Γ$ un cercle de centre $O$ et de rayon $R$ et $(d)$ une droite orientée passant par $M$ et rencontrant le cercle en $A$ et $B$ . Alors le produit $MA \times MB$ des mesures algébriques de $MA$ et $MB$ est indépendant de la droite orientée choisie et vaut $MO 2 - R 2$ .

On l'appelle puissance du point $M$ par rapport au cercle $Γ$ et on le note $P Γ (M)$ .

Démonstrations

Il existe de nombreuses démonstrations possibles de ce théorème. Certaines font appel à des propriétés des triangles semblables et des angles inscrits, d'autres utilisent le produit scalaire.

Par les triangles semblables.

On démontre que le produit

MA \times MB

ne dépend pas de la sécante, mais seulement de la position du point

M

par rapport au centre du cercle. On envisage donc deux sécantes passant par

M

, l'une rencontrant le cercle en

A

et

B

, l'autre le rencontrant en

A'

et

B'

(dans le cas où

M

est extérieur au cercle, on choisit les noms des points de telle sorte que

MAB

et

MA'B'

soient rangés dans cet ordre). On démontre alors que les triangles

MA'B

et

MAB'

sont semblables :

Deux triangles semblables illustrant l'invariance de la puissance d'un point par rapport à un cercle — Invariance de la puissance d'un point par rapport à un cercle

Deux triangles semblables illustrant l'invariance de la puissance d'un point par rapport à un cercle, cas où le point est dans le cercle — Invariance de la puissance d'un point par rapport à un cercle, cas où le point est dans le cercle

Par le théorème de l'angle inscrit, les angles ${\widehat {MB'A}}$ et ${\widehat {MBA'}}$ sont égaux puisqu'ils interceptent le même arc de cercle $AA'$ .
Les angles ${\widehat {AMB'}}$ et ${\widehat {A'MB}}$ sont égaux car confondus si $M$ est extérieur au cercle ou opposés par le sommet s'il est intérieur au cercle.

Puisque les triangles

MAB'

et

MA'B

sont semblables, l'égalité

{\frac {MA}{MA'}}={\frac {MB'}{MB}}

est vérifiée et on en déduit que

MA\times MB=MA'\times MB'

, ce qui prouve l'indépendance du produit par rapport à la droite choisie.

Si, comme droite particulière, on choisit une droite passant par

O

, le centre du cercle, l'une des distances vaut

R + OM

, et l'autre

|R - OM|

. Le produit des distances est donc bien égal à

|OM 2 - R 2 |

. Comme

OM

est plus grand ou plus petit que

R

selon que

M

est à l'extérieur ou à l'intérieur du cercle, on trouve bien que le produit des mesures algébriques est toujours

OM 2 - R 2

.

Par le produit scalaire

On construit le point

A'

, symétrique du point

A

par rapport à

O

. On calcule alors le produit scalaire des vecteurs

{\overrightarrow {MA}}

et

{\overrightarrow {MA'}}

sous deux formes différentes.

En projetant orthogonalement

A'

sur

(MA)

en

B

{\overrightarrow {MA}}\cdot {\overrightarrow {MA'}}={\overline {MA}}\times {\overline {MB}}

En utilisant le centre

O

du cercle, milieu du segment

[AA']

{\overrightarrow {MA}}\cdot {\overrightarrow {MA'}}=({\overrightarrow {MO}}+{\overrightarrow {OA}})\cdot ({\overrightarrow {MO}}-{\overrightarrow {OA}})=MO^{2}-OA^{2}

Et on obtient l'égalité cherchée.

Signe de la puissance

On peut remarquer que :

si $M$ est à l’extérieur du cercle, $MA \times MB = MA \times MB$ ;
si $M$ est à l’intérieur du cercle, $MA \times MB = - MA \times MB$ .

Lorsque le point $M$ est à l'extérieur du cercle, il est possible de mener des tangentes au cercle. En appelant $T$ le point de contact du cercle avec une de ces tangentes, la puissance de $M$ est $P Γ (M) = MT 2$ (théorème de Pythagore).

L'égalité $MA \times MB = MT 2$ est suffisante pour affirmer que la droite $(MT)$ est tangente au cercle.

La puissance d'un point permet de vérifier que quatre points sont cocycliques : en effet, si $A$ , $B$ , $C$ , $D$ sont quatre points tels que $(AB)$ et $(CD)$ se coupent en $M$ et si $MA \times MB = MC \times MD$ , alors les quatre points sont cocycliques.

Point de vue algébrique

Dans un repère orthonormé, le cercle $Γ$ de centre $O (a, b)$ et de rayon $r$ a pour équation cartésienne $(x - a) 2 + (y - b) 2 = r 2$ , qu'on peut réécrire sous la forme $P (x, y) = x 2 + y 2 - 2 ax - 2 by + c = 0$ avec $c = a 2 + b 2 - r 2$ ; alors la puissance du point $M (x M, y M)$ par rapport à ce cercle est $P Γ (M) = P (x M, y M) = (x M - a) 2 + (y M - b) 2 - r 2$ .

Démonstration

Il suffit de remarquer que :

P_{\Gamma }(M)=MO^{2}-OA^{2}=(x_{M}-a)^{2}+(y_{M}-b)^{2}-r^{2}=P(x_{M},y_{M})

Applications

Axe radical de deux cercles

L'axe radical de deux cercles, de centres distincts, est l'ensemble des points ayant même puissance par rapport à ces deux cercles.

On considère deux cercles $c (O, R)$ et $c' (O', R')$ avec $O$ et $O'$ distincts. L'ensemble des points $M$ de mêmes puissances par rapport aux deux cercles vérifie :

p_{c}(M)=MO^{2}-R^{2}=p_{c'}(M)=MO'^{2}-R'^{2},~{\textrm {soit}}~MO^{2}-MO'^{2}=R^{2}-R'^{2}.

Soit $I$ le milieu de $[OO']$ et $K$ la projection orthogonale de $M$ sur $(OO')$ . D'après le troisième théorème de la médiane dans le triangle $MOO'$ , on a : $2{\overrightarrow {OO'}}\cdot {\overrightarrow {IK}}=R^{2}-R'^{2}$ .
Tous ces points $M$ ont le même projeté orthogonal sur la droite $(OO')$ , et la formule obtenue ci-dessus permet de construire ce projeté $K$ . L'axe radical est donc la droite perpendiculaire à la ligne des centres et passant par $K$ .

Si les cercles sont sécants, l'axe radical est la droite joignant les points d'intersection.

L'axe radical (éventuellement en dehors du segment intérieur aux deux cercles) est aussi l'ensemble des points desquels on peut mener, aux deux cercles, des segments tangents de même longueur.

En particulier si les cercles sont extérieurs et admettent une tangente commune $(TT')$ , le milieu $J$ de $[TT']$ appartient à l'axe radical. Cette propriété permet de construire l'axe radical.

D'un point de vue analytique, si les deux cercles ont pour équations $(x - a) 2 + (y - b) 2 = r 2$ et $(x - a') 2 + (y - b') 2 = r' 2$ , les points ayant même puissance par rapport aux deux cercles sont ceux pour lesquels $(x - a) 2 + (y - b) 2 - r 2 = (x - a') 2 + (y - b') 2 - r' 2$ , ce qui équivaut à $2(a' - a) x + 2(b' - b) y + c = 0$ , avec $c = r' 2 - r 2 + a 2 + b 2 - a' 2 - b' 2$ ; on retrouve bien l'équation de l'axe radical.

Centre radical de trois cercles

Les axes radicaux de trois cercles de centres non alignés concourent en un point appelé centre radical des trois cercles (voir aussi : cercle orthogonal à trois cercles).

On en déduit, par exemple, que si trois cercles sont tangents deux à deux, leurs tangentes communes sont concourantes, et leur centre radical est alors le centre du cercle circonscrit au triangle formé par les trois points de tangence.

Extensions

Laguerre a défini la puissance d'un point $P$ par rapport à une courbe algébrique de degré $n$ comme le produit des distances entre $P$ et les $2 n$ points d'intersection d'un cercle passant par $P$ avec la courbe, divisé par le rayon du cercle $R$ élevé à la puissance $n$ . Il a également démontré que cette valeur est indépendante du rayon^[1]^,^[2]. Il lie en outre cette puissance à l'équation de la courbe plane sous forme $f (x, y) = 0$ , en remarquant que la puissance du point $P (x, y)$ est égale, à une constante multiplicative près, à $| f (x, y)|$ .

Références

↑ Edmond Laguerre, Œuvres de Laguerre: Géométrie, Gauthier-Villars et fils, 1905, page 20
↑ Eugène Rouché, « Edmond Laguerre, sa vie et ses travaux », Nouvelles annales de mathématiques, 3^e série, vol. 6,‎ 1887, p. 105-17 (lire en ligne), p.113