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En algèbre commutative, dans un anneau (commutatif) intègre, un élément p est dit irréductible s'il n'est ni inversible, ni produit de deux éléments non inversibles. Il est dit premier s'il n'est ni nul ni inversible et si, pour tout produit ab divisible par p, l'un des deux facteurs a ou b est divisible par p. Tout élément premier est irréductible. Dans un anneau factoriel (comme l'anneau des entiers ou l'anneau des polynômes à coefficients dans un corps), ces deux notions sont équivalentes.

Deux éléments a et b sont dits premiers entre eux si tout diviseur commun à a et b est inversible.

Introduction

Dans l'anneau des entiers, il existe différentes caractérisations des nombres premiers et des nombres premiers entre eux qui, dans un anneau quelconque, conduisent à trois couples de notions différentes. Dans la suite, A est un anneau intègre et a, b, p sont des éléments de A. Un idéal de A est dit propre s'il est différent de A. La notation (a) désigne l'idéal principal engendré par a (c'est-à-dire l'ensemble des multiples de a).

Éléments premiers entre eux et élément irréductible

On dit que a et b sont premiers entre eux ou que a est premier avec b si tout diviseur commun à a et b est inversible^{[Réf. 1]}^,^{[Note 1]}^,^{[Note 2]}.

Conditions équivalentes :

le PGCD de a et b (existe et) est inversible ;
l'idéal (a) + (b) n'est inclus dans aucun idéal principal propre de A.

Probablement par influence des polynômes, la notion suivante n'est pas baptisée « élément premier », mais « élément irréductible » :

On dit que p est irréductible s'il est non nul, non inversible, et premier avec tout élément qu'il ne divise pas^{[Réf. 2]}.

Conditions équivalentes :

p n'est ni inversible, ni produit de deux éléments non inversibles^{[Réf. 3]} ;
p n'est ni nul ni inversible, et ses seuls diviseurs sont les inversibles et les éléments associés à p^{[Réf. 4]}^,^{[Réf. 5]}^,^{[Réf. 6]}^,^{[Note 3]} ;
(p) est non nul, et maximal dans l’ensemble des idéaux principaux propres de A.

Éléments indissolubles entre eux et élément premier

Lorsque a et b sont non nuls, on dit qu'ils sont indissolubles entre eux (ou « premiers entre eux au sens de Gauss »)^{[réf. souhaitée]} si pour tout élément x de A,

si a divise bx alors a divise x.

Conditions équivalentes (d'après les deux dernières, cette notion est donc symétrique en a et b) :

b est simplifiable (ou : non diviseur de 0) dans l'anneau quotient A/(a) ;
tout multiple de a et b est multiple de ab ;
le PPCM de a et b (existe et) est égal au produit ab.

La définition correspondante est alors :

p est dit premier (ou indissoluble)^{[réf. souhaitée]} s'il est non nul, non inversible, et indissoluble avec tout élément qu'il ne divise pas.

Conditions équivalentes :

p n'est ni nul ni inversible, et pour tout produit ab divisible par p, l'un des facteurs a ou b est divisible par p^{[Réf. 7]} ;
p est non nul et A/(p) est intègre ;
(p) est un idéal premier non nul de A^{[Réf. 8]}.

Éléments étrangers et élément extrémal

La notion d'éléments étrangers correspond à la caractérisation des nombres premiers entre eux par le théorème de Bachet-Bézout.

On dit que a et b sont étrangers^{[Note 2]} s'il existe des éléments u et v de A tels que au + bv = 1^{[Note 1]}^,^{[Réf. 9]}, condition qui s'écrit aussi sous la forme (a) + (b) = A^{[Réf. 9]}.

La définition correspondante est alors :

On dit que p est extrémal^{[Note 3]} s'il est non nul, non inversible, et étranger à tout élément qu'il ne divise pas.^{[réf. souhaitée]}

Conditions équivalentes :

p est non nul et non inversible, et tout élément de A non multiple de p est inversible modulo p ;
(p) est un idéal maximal non nul de A ;
p est non nul et A/(p) est un corps.

Liens entre ces trois notions

étrangers ⇒ indissolubles entre eux ⇒ premiers entre eux^{[Note 4]}.

Démonstration

Supposons a et b non nuls.

Si a et b sont étrangers alors ils sont indissolubles entre eux :
la preuve classique pour les entiers fonctionne en fait pour n'importe quel anneau commutatif.
Si a et b sont indissolubles entre eux alors ils sont premiers entre eux :
plus généralement, si m est un PPCM de a et b alors ab/m est un pgcd de a et b (la preuve pour les entiers proposée dans l'article Plus petit commun multiple fonctionne en fait pour n'importe quel anneau intègre).

extrémal ⇒ premier ⇒ irréductible.

Ces deux implications se déduisent immédiatement des deux précédentes.

Leurs réciproques sont fausses (donc les réciproques des deux précédentes sont également fausses) : K désignant un corps,

dans K[X,Y] et dans ℤ[X], X est premier mais non extrémal (en fait ces deux anneaux ne contiennent aucun élément extrémal) ;
- dans le sous-anneau K[T²,T³] de K[T], l'élément T² est irréductible mais non premier (il divise (T³)² mais pas T³) ;
- dans ℤ[i $\sqrt d$ ] pour tout entier $d \geq 3$ non carré, $2$ est irréductible (vu sa norme) mais non premier^{[Réf. 10]} (il divise soit $(1 + i \sqrt d)(1 - i \sqrt d)$ , soit $(i \sqrt d) 2$ , selon la parité de $d$ …).

Dans un anneau à PGCD (anneau où tout couple d'éléments possède un PGCD), et donc en particulier dans un anneau factoriel, premiers entre eux équivaut à indissolubles entre eux (donc irréductible équivaut à premier).
Dans un anneau de Bézout (anneau intègre à PGCD vérifiant l'identité de Bézout), et donc en particulier dans un anneau principal (comme ℤ ou K[X]), premiers entre eux implique même étrangers, donc les trois notions (étrangers, indissolubles entre eux, premiers entre eux) sont équivalentes (si bien que irréductible équivaut à premier équivaut à extrémal).

Notes et références

Notes

↑ ^{a et b} Si l'un des deux éléments a, b est nul, cette condition équivaut à l'inversibilité de l'autre.
↑ ^{a et b} Bourbaki, p. A VI.13, appelle « étrangers » ce que nous appelons ici « premiers entre eux ».
↑ ^{a et b} N. Bourbaki, Algèbre (lire en ligne), VI.16, appelle « extrémal » ce que nous appelons ici « irréductible ». Escofier 2016, p. 463, fait de même mais optionnellement : « Un élément […] est dit irréductible (on dit aussi extrémal) ».
↑ La définition ci-dessus de « indissolubles entre eux » est restreinte au cas où les deux éléments sont non nuls, mais on peut rendre vraies ces deux implications en décrétant que si l'un des deux éléments a, b est nul, alors ils sont indissolubles entre eux si et seulement si l'autre est inversible.

Références

↑ Aviva Szpirglas, Algèbre L3 : Cours complet avec 400 tests et exercices corrigés [détail de l’édition], p. 506.
↑ Claude Mutafian, Le défi algébrique, t. 1, Vuibert, 1975, p. 206-207, démontre que les trois conditions ci-dessous sont équivalentes à celle-ci, mais en oubliant souvent de préciser « non inversible ».
↑ Jean-Pierre Escofier, Toute l'algèbre de la Licence : Cours et exercices corrigés, Dunod, 2016, 4^e éd. (lire en ligne), p. 255 et 463.
↑ Dany-Jack Mercier, Fondamentaux d'algèbre & d'arithmétique, Publibook, 2010 (ISBN 978-2-74835410-2), p. 106, Définition 57.
↑ Escofier 2016, p. 463.
↑ Serge Lang, Algèbre [détail des éditions].
↑ Mercier 2010, p. 108, Définition 60.
↑ Escofier 2016, p. 466.
↑ ^{a et b} Escofier 2016, p. 455-456.
↑ (en) Dinesh Khurana, « On GCD and LCM in Domains – A Conjecture of Gauss », Resonance, vol. 8, n^o 6,‎ 2003, p. 72-79 (lire en ligne), p. 79.