Polynôme de Bernstein
Les polynômes de Bernstein , nommés ainsi en l'honneur du mathématicien russe Sergueï Bernstein (1880-1968), permettent de donner une démonstration constructive et probabiliste[ 1] , [ 2] , [ 3] du théorème d'approximation de Weierstrass . Ils sont également utilisés dans la formulation générale des courbes de Bézier .
Description
Pour un degré m ≥ 0 , il y a m + 1 polynômes de Bernstein B m 0 , ..., Bm m définis, sur l'intervalle [0 ; 1] , par
B
i
m
(
u
)
=
(
m
i
)
u
i
(
1
− − -->
u
)
m
− − -->
i
{\displaystyle B_{i}^{m}(u)={\binom {m}{i}}u^{i}(1-u)^{m-i}}
,
où les
(
m
i
)
=
m
!
i
!
(
m
− − -->
i
)
!
{\displaystyle {\binom {m}{i}}={\frac {m!}{i!(m-i)!}}}
sont les coefficients binomiaux .
Les m + 1 polynômes de Bernstein forment une base de l'espace vectoriel des polynômes de degré au plus m .
Premiers polynômes
Les polynômes de Bernstein pour les premiers ordres sont :
B
0
0
(
x
)
=
1
{\displaystyle B_{0}^{0}(x)=1}
B
0
1
(
x
)
=
1
− − -->
x
,
B
1
1
(
x
)
=
x
{\displaystyle B_{0}^{1}(x)=1-x,\ B_{1}^{1}(x)=x}
B
0
2
(
x
)
=
(
1
− − -->
x
)
2
,
B
1
2
(
x
)
=
2
x
(
1
− − -->
x
)
,
B
2
2
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle B_{0}^{2}(x)=(1-x)^{2},\ B_{1}^{2}(x)=2x(1-x),\ B_{2}^{2}(x)=x^{2}}
B
0
3
(
x
)
=
(
1
− − -->
x
)
3
,
B
1
3
(
x
)
=
3
x
(
1
− − -->
x
)
2
,
B
2
3
(
x
)
=
3
x
2
(
1
− − -->
x
)
,
B
3
3
(
x
)
=
x
3
{\displaystyle B_{0}^{3}(x)=(1-x)^{3},\ B_{1}^{3}(x)=3x(1-x)^{2},\ B_{2}^{3}(x)=3x^{2}(1-x),\ B_{3}^{3}(x)=x^{3}}
Propriétés
Polynômes de Bernstein de degré 3.
Ces polynômes présentent plusieurs propriétés importantes :
∀ ∀ -->
u
∈ ∈ -->
[
0
,
1
]
{\displaystyle \forall u\in [0,1]}
∑ ∑ -->
i
=
0
m
B
i
m
(
u
)
=
1
,
{\displaystyle \qquad \sum _{i=0}^{m}B_{i}^{m}(u)=1,}
∀ ∀ -->
i
∈ ∈ -->
{
0
,
… … -->
,
m
}
B
i
m
(
u
)
≥ ≥ -->
0
,
{\displaystyle \forall i\in \{0,\ldots ,m\}\quad B_{i}^{m}(u)\geq 0,}
∀ ∀ -->
i
∈ ∈ -->
{
0
,
… … -->
,
m
}
B
i
m
(
u
)
=
B
m
− − -->
i
m
(
1
− − -->
u
)
,
{\displaystyle \forall i\in \{0,\ldots ,m\}\quad B_{i}^{m}(u)=B_{m-i}^{m}(1-u),}
∀ ∀ -->
i
∈ ∈ -->
{
0
,
… … -->
,
m
}
B
i
m
(
0
)
=
δ δ -->
i
,
0
,
B
i
m
(
1
)
=
δ δ -->
i
,
m
{\displaystyle \forall i\in \{0,\ldots ,m\}\quad B_{i}^{m}(0)=\delta _{i,0},B_{i}^{m}(1)=\delta _{i,m}}
avec δ le symbole de Kronecker
multiplicité des racines :
pour Bm i , 0 est une racine de multiplicité i et 1, une racine de multiplicité m – i .
formules de récurrence : pour m > 0 ,
B
i
m
(
u
)
=
{
(
1
− − -->
u
)
B
i
m
− − -->
1
(
u
)
si
i
=
0
(
1
− − -->
u
)
B
i
m
− − -->
1
(
u
)
+
u
B
i
− − -->
1
m
− − -->
1
(
u
)
∀ ∀ -->
i
∈ ∈ -->
{
1
,
… … -->
,
m
− − -->
1
}
u
B
i
− − -->
1
m
− − -->
1
(
u
)
si
i
=
m
.
{\displaystyle B_{i}^{m}(u)={\begin{cases}(1-u)B_{i}^{m-1}(u)&{\text{si }}i=0\\(1-u)B_{i}^{m-1}(u)+uB_{i-1}^{m-1}(u)&\forall i\in \{1,\dots ,m-1\}\\uB_{i-1}^{m-1}(u)&{\text{si }}i=m.\end{cases}}}
.
B
i
m
′ ′ -->
(
u
)
=
m
(
B
i
− − -->
1
m
− − -->
1
(
u
)
− − -->
B
i
m
− − -->
1
(
u
)
)
.
{\displaystyle B_{i}^{m}\prime (u)=m\left(B_{i-1}^{m-1}(u)-B_{i}^{m-1}(u)\right).}
B
i
m
(
u
)
=
(
m
i
)
∑ ∑ -->
k
=
0
m
− − -->
i
(
m
− − -->
i
k
)
(
− − -->
1
)
k
u
i
+
k
=
∑ ∑ -->
l
=
i
m
(
m
l
)
(
l
i
)
(
− − -->
1
)
l
− − -->
i
u
l
{\displaystyle B_{i}^{m}(u)={\binom {m}{i}}\sum _{k=0}^{m-i}{\binom {m-i}{k}}(-1)^{k}u^{i+k}=\sum _{l=i}^{m}{\binom {m}{l}}{\binom {l}{i}}(-1)^{l-i}u^{l}}
et inversement
u
p
=
∑ ∑ -->
k
=
0
m
− − -->
p
(
m
− − -->
p
k
)
1
(
m
k
)
B
m
− − -->
k
m
(
u
)
=
1
(
m
p
)
∑ ∑ -->
s
=
p
m
(
s
p
)
B
s
m
(
u
)
.
{\displaystyle u^{p}=\sum _{k=0}^{m-p}{\binom {m-p}{k}}{\frac {1}{\binom {m}{k}}}B_{m-k}^{m}(u)={\frac {1}{\binom {m}{p}}}\sum _{s=p}^{m}{\binom {s}{p}}B_{s}^{m}(u).}
Lien avec la loi binomiale
D'un point de vue probabiliste, pour tout p ∈ [0;1] , Bm i (p ) est la probabilité
P
(
X
=
i
)
{\displaystyle \mathbb {P} (X=i)}
, où X est une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre (m ,p ) . C'est d'ailleurs l'interprétation qu'en fait Bernstein dans sa démonstration du théorème d'approximation de Weierstrass.
Notes et références
↑ Sergueï Natanovitch Bernstein , « Démonstration du théorème de Weierstrass, fondée sur le calcul des probabilités », Communications de la Société mathématique de Kharkow Série 2 , vol. 13, 1912 (lire en ligne ) .
↑ (en) Rida T. Farouki, « The Bernstein polynomial basis: A centennial retrospective », Computer Aided Geometric Design , vol. 29, no 6, 2012 , p. 379-419 (ISSN 0167-8396 , DOI 10.1016/j.cagd.2012.03.001 , lire en ligne ) .
↑ (en) Richard V. Kadison, « Bernstein Polynomials and Approximation » .
Liens externes
(en) Eric W. Weisstein , « Bernstein Polynomial », sur MathWorld
Voir aussi