Point rationnel

En théorie des nombres et géométrie algébrique, les points rationnels d'une variété algébrique $X$ définie sur un corps $k$ sont, lorsque X est définie par un système d'équations polynomiales, les solutions dans k de ce système.

Définition formelle

Soit $X$ une variété algébrique définie sur un corps $k$ . Un point $x\in X$ est appelé un point rationnel si le corps résiduel $k(x)$ de X en x est égal à $k$ . Cela revient à dire que les coordonnées du point $x$ dans une carte locale affine appartiennent toutes à $k$ . Lorsque la variété algébrique est déduite d'un système d'équations polynômiales homogène ou affine, les points rationnels correspondent aux solutions du système dans $k$ .

L'ensemble des points rationnels de $X$ est noté $X(k)$ .

Sur un corps de base algébriquement clos, tous les points (fermés) sont rationnels. Dans le cas contraire, $X(k)$ peut très bien être vide sans que $X$ le soit.

Quelques exemples

Une partie importante de la géométrie arithmétique concerne l'étude des points rationnels des variétés algébriques définies sur un corps de nombres.

L'ensemble des points rationnels d'un espace affine $\mathbb {A} _{K}^{n}$ s'identifie à $K^{n}$ . De même l'ensemble des points rationnels d'un espace projectif $\mathbb {P} _{K}^{n}$ (comme variété algébrique) s'identifie à l'espace projectif $(K^{n+1}\setminus \{0\})/K^{*}$ .
Si X est la courbe algébrique projective définie par l'équation $x^{p}+y^{p}+z^{p}=0$ dans ℚ, où p est un nombre premier impair, les points rationnels X(ℚ) correspondent aux solutions homogènes de l'équation de Fermat d'exposant $p$ . Le point $(1:-1:0)$ est un point rationnel (sur ℚ), par contre le point $(-1:\xi _{p}:0)$ où $\xi _{p}=e^{2i\pi /p}\in \mathbb {C}$ est une racine primitive p-ième de l'unité, n'est pas rationnel.
La courbe affine x² + y² + 1 = 0 sur ℝ n'a pas de points rationnels.
La conjecture de Mordell, démontrée par Gerd Faltings, dit que pour toute courbe projective non-singulière de genre au moins deux, définie sur un corps de nombres, admet au plus un nombre fini de points rationnels.
Le théorème de Mordell-Weil, généralisé par Lang et Néron^[1]^,^[2], dit que pour toute variété abélienne A sur un corps K de type fini sur ℚ ou un corps fini, l'ensemble des points rationnels A(K) est un groupe abélien de type fini.

Voir aussi

§ "Points rationnels" de l'article : Variété algébrique

Notes

↑ (en) Serge Lang et André Néron, Rational points of abelian varieties over function fields, Amer. J. Math. 81 (1959), 95–118
↑ (en) Brian Conrad, « Chow's K/k-image and K/k-trace, and the Lang-Néron theorem », Enseign. Math., 52 (2006), 37–108 [lire en ligne].

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