Davis naît à Grays (Essex) et grandit à Thurrock. Son père travaille pour Procter & Gamble dans une entreprise de savon alors que sa mère travaille dans un hôpital. À partir de l'âge de 8 ans, il s'intéresse au jeu d'acteur.
En 1977, il est embauché pour le rôle principal de la pièce Gotcha!, qui raconte l'histoire d'un étudiant retenant en otage deux enseignants lors de son dernier jour d'école. Davis décroche un rôle dans le film Quadrophenia (1979), puis celui de Ned Young dans Le Bounty (1984). Il y joue auprès de Daniel Day-Lewis, qui sera l'une de ses plus grandes influences.