Klimsch est le fils du peintre Eugen Klimsch(de). Ses deux frères, Karl et Fritz, sont aussi artistes, le premier peintre et le second sculpteur. Il épouse Charlotte Wickwolff (1867-1932).
Klmisch a étudié à Carlsruhe. Ses sujets favoris étaient les animaux du zoo de Francfort et des paysages.
