Turnquest est né à Grants Town, New Providence , de Robert et Gwendolyn Turnquest. Après avoir obtenu son Cambridge Junior Certificate, son Cambridge Senior Certificate et son inscription de Londres au lycée gouvernemental entre 1942 et 1945, il fait son stage à la chambre de droit de feu Hon. AF Adderley de 1947 à 1953, admis au barreau des Bahamas le . Il étudie par la suite à l'Université de Londres (1957-1960). Il obtient un baccalauréat en droit (avec distinction) et est admis en au barreau anglais en tant que membre du Lincoln's Inn.
Il est procureur général des Bahamas et ministre de la Justice et des Affaires étrangères à partir du et est Vice-Premier Ministre, Procureur général et Ministre des Affaires étrangères le .