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L'opérateur de Laplace-Beltrami est une généralisation de l'opérateur laplacien aux variétés riemanniennes. On part de la définition ${\displaystyle \Delta =\mathrm {div} \ \mathrm {grad} }$, et l'on est ramené à définir la divergence et le gradient dans le cadre riemannien.

Avertissement : dans cet article, on utilise la convention de sommation d'Einstein. Même quand le signe somme n'est pas omis, on ne somme que par rapport à un indice se trouvant à la fois en positions inférieure et supérieure.

Sur une variété différentielle ${\displaystyle M}$ orientable, la divergence est naturellement associée à une forme volume. Si ${\displaystyle \omega }$ est une telle forme, toute autre forme de degré maximum s'écrit de façon unique ${\displaystyle f\omega }$, où ${\displaystyle f}$ est une fonction. Cela s'applique à la dérivée de Lie de ${\displaystyle \omega }$ par rapport à un champ de vecteurs ${\displaystyle X}$. La divergence de ${\displaystyle X}$ (par rapport à ${\displaystyle \omega }$) est l'unique fonction telle que ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =(\mathrm {div} _{\omega }X)\omega }$.

D'après la formule ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}=d\circ i_{X}+i_{X}\circ d}$, on a ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =\mathrm {d} (i_{X}\omega )}$. Donc, d'après la formule de Stokes, si ${\displaystyle X}$ est à support compact,

${\displaystyle \int _{M}(\mathrm {div} _{\omega }X)\omega =\!\int _{M}\mathrm {d} (i_{X}\omega )=0}$

Si ${\displaystyle \omega }$ s'écrit en coordonnées locales ${\displaystyle \theta \mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}}$, on a

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =({\mathcal {L}}_{X}\theta )\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}+\theta \sum _{i=1}^{n}\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge {\mathcal {L}}_{X}(\mathrm {d} x^{i})\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}}$

(car ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$ est une dérivation).

Si ${\displaystyle \textstyle X=\sum _{i=1}^{n}X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$, on a ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\mathrm {d} x^{i}=\mathrm {d} ({\mathcal {L}}_{X}x^{i})=d\mathrm {X} ^{i}}$, d'où l'on tire ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =({\mathcal {L}}_{X}\theta )\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}+\theta \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial X^{i}}{\partial x^{i}}}dx^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}}$, et finalement, ${\displaystyle \textstyle \mathrm {div} _{\omega }X={\frac {\mathrm {d} \theta (X)}{\theta }}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial X^{i}}{\partial x^{i}}}}$.

Remarque sur l'orientabilité : L'introduction d'une forme volume suppose la variété orientable. Mais si on change la forme volume ${\displaystyle \omega }$ en son opposée, ${\displaystyle \mathrm {div} _{\omega }X)}$ ne change pas. En fait, la divergence ne dépend que de la densité associée à ${\displaystyle \omega }$. Contrairement aux apparences, l'hypothèse d'orientabilté est inutile, on a en fait utilisé une orientation locale.

L'exemple le plus important est celui de la divergence définie par la forme volume canonique d'une métrique riemannienne.

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}\ =\ g_{ij}(x)\ \mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}}$

En coordonnées locales ${\displaystyle v_{g}={\sqrt {\det(g_{ij})}}\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}}$. D'après la remarque qui précède, il n'est nullement nécessaire de supposer la variété orientable. Le déterminant des ${\displaystyle g_{ij}}$ est souvent noté ${\displaystyle g}$, notamment par ceux qui écrivent ${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}}$ la métrique riemannienne, cela ne porte pas trop à confusion.

Le gradient d'une fonction (disons lisse) ${\displaystyle f}$ est l'unique champ de vecteurs, noté ${\displaystyle \nabla f}$, tel que ${\displaystyle g(X,\nabla f)=\mathrm {d} f(X)}$ pour tout champ de vecteurs ${\displaystyle X}$. En coordonnées locales,

${\displaystyle \nabla f=\sum _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{n}g^{ij}{\frac {\partial f}{\partial x^{j}}}\right){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$

Ici, ${\displaystyle g^{ij}(x)}$ est l'inverse du tenseur métrique, défini en coordonnées par

${\displaystyle g_{ik}(x)g^{kj}(x)\ =\ \delta _{i}^{j}}$

où ${\displaystyle \delta _{i}^{j}}$ est le symbole de Kronecker.

On définit l'opérateur de Laplace-Beltrami comme l'opérateur différentiel du second ordre ${\displaystyle \Delta f=\mathrm {div} (\nabla f)}$.

En coordonnées locales,

${\displaystyle \Delta \ =\ {\frac {1}{\sqrt {g}}}\ \partial _{i}\left[{\sqrt {g}}g^{ij}\partial _{j}\right]}$

Si ${\displaystyle f_{1}}$ et ${\displaystyle f_{2}}$ sont ${\displaystyle C^{2}}$ et à support compact, on a

${\displaystyle \int _{M}f_{1}\Delta f_{2}v_{g}=-\int _{M}g(\nabla f_{1},\nabla f_{2})v_{g}=\int _{M}f_{2}\Delta f_{1}v_{g}}$

Pour le voir, on remarque que si ${\displaystyle f}$ est une fonction et ${\displaystyle X}$ un champ de vecteurs,

${\displaystyle \mathrm {div} fX=f\mathrm {div} X+\mathrm {d} f(X)=f\mathrm {div} X+g(X,\nabla f)}$

En appliquant cette relation à ${\displaystyle f=f_{1}}$ et ${\displaystyle X=\nabla f_{2}}$, on obtient

${\displaystyle \int _{M}{\bigl (}f_{1}\mathrm {div} \nabla f_{2}+g(\nabla f_{1},\nabla f_{2}){\bigr )}v_{g}=\int _{M}\mathrm {div} (f_{1}\nabla f_{2})v_{g}=0}$

puisque d'après la formule de Stokes l'intégrale de la divergence d'un champ de vecteurs à support compact est nulle.

Cette formule exprime le fait que ${\displaystyle \Delta }$ est un opérateur formellement autoadjoint sur ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$, par rapport au produit scalaire global, défini par

${\displaystyle \langle f_{1},f_{2}\rangle :=\int _{M}f_{1}f_{2}v_{g}}$

(noter l'analogie avec les opérateurs symétriques en dimension finie).

${\displaystyle \textstyle \langle f,\Delta f\rangle =-\int _{M}g(\nabla f,\nabla f)v_{g}}$ est négatif ou nul. L'opérateur ${\displaystyle -\Delta }$ est positif (c'est la raison pour laquelle beaucoup de géomètres riemanniens définissent l'opérateur de Laplace comme ${\displaystyle -\mathrm {div~grad} }$). Enfin, si ${\displaystyle M}$ est une variété compacte sans bord, les seules fonctions à Laplacien nul sont les constantes (de même que les seules fonctions harmoniques sur un domaine compact de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, nulles au bord sont les constantes, la preuve est d'ailleurs la même).

Il existe plusieurs extensions du laplacien quand on sort du cadre des fonctions numériques pour l'appliquer à des formes différentielles, des tenseurs ou de façon générale à des sections de fibrés vectoriels sur la variété riemannienne. Elles partagent certaines propriétés : le même symbole principal, le caractère elliptique. Et elles sont reliées les unes aux autres par des formules faisant intervenir la géométrie de la variété par sa courbure.

• (en) Peter Sarnak, « Spectra of hyperbolic surfaces », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 40,‎ 2003, p. 441-478 (lire en ligne)
• (en) Isaac Chavel, Eigenvalues in Riemannian Geometry, Academic Press

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