L'onde de détonation Taylor-von Neumann-Sedov est une solution auto-similaire du problème de détonation décrite simultanément par Geoffrey Ingram Taylor, John von Neumann et Leonid Sedov pendant la Seconde Guerre mondiale^[1],[2].

Ces études ont été effectuées afin d'estimer les effets d'un engin nucléaire indépendamment par :

• Geoffrey Ingram Taylor pour le Royaume-Uni en juin 1941^[3],
• John von Neumann pour les États-Unis, également en juin 1941^[4],
• Leonid Sedov, à pareille époque, pour l'URSS^[5]. La publication de ses travaux date de 1946^[6].

Cette théorie décrit les effets d'une explosion, donc de la création et de la propagation d'un choc et d'un écoulement associé, à partir d'une distance où le détail de la source ne joue plus de rôle et où celle-ci peut être entièrement décrite par une énergie ${\displaystyle E}$ issue du point en ${\displaystyle r=0}$.

La propagation se fait dans une atmosphère pour laquelle on peut prendre  ${\displaystyle p_{0}=0}$  compte tenu de la valeur importante  ${\displaystyle p_{1}}$  derrière le choc créé  ${\displaystyle p_{1}>>p_{0}}$. Il n'en va pas de même pour la masse volumique : en effet les relations de Rankine-Hugoniot prédisent une limite à la masse volumique

${\displaystyle \lim \limits _{Ma\to \infty }{{\frac {\rho _{1}}{\rho _{0}}}={\frac {\gamma +1}{\gamma -1}}}}$

où ${\displaystyle \gamma }$ est l'indice adiabatique du milieu (${\displaystyle \gamma =1.4}$ pour l'air à basse température).

On suppose que le paramètre pertinent est le seul nombre adimensionnel possible pour ce problème où interviennent les variables ${\displaystyle t,r,\rho _{0},E}$. Ce nombre est

${\displaystyle r\left({\frac {\rho _{0}}{Et^{2}}}\right)^{\frac {1}{5}}}$.

En particulier ceci est vrai pour le rayon de propagation

${\displaystyle R(t)=\beta \left({\frac {Et^{2}}{\rho _{0}}}\right)^{\frac {1}{5}}}$

D'où la vitesse de propagation

${\displaystyle V_{\infty }={\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}={\frac {2\beta }{5}}\left({\frac {E}{\rho _{0}t^{3}}}\right)^{1/5}={\frac {2R}{5t}}}$

Les relations de Rankine-Hugoniot permettent de calculer les quantités en amont du choc

${\displaystyle v_{1}={\frac {2}{\gamma +1}}V_{\infty },\quad p_{1}={\frac {2}{\gamma +1}}\rho _{0}V_{\infty }^{2},\quad \rho _{1}\approx \rho _{0}{\frac {\gamma +1}{\gamma -1}}}$

${\displaystyle \rho _{1}}$ est donc approximativement constant.

Le système obéit aux équations d'Euler en géométrie sphérique

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial v}{\partial t}}+v{\frac {\partial v}{\partial r}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial r}}&=0\\{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial (\rho v)}{\partial r}}+{\frac {2\rho v}{r}}&=0\\\left({\frac {\partial }{\partial t}}+v{\frac {\partial }{\partial r}}\right)\ln {\frac {p}{\rho ^{\gamma }}}&=0\end{aligned}}}$

En ${\displaystyle r=R(t)}$ les valeurs sont celles définies ci-dessus.

La pression peut être remplacée par la vitesse du son  ${\displaystyle c(r,t)={\sqrt {\gamma \,p/\rho }}}$.

On introduit les variables sans dimension^[7],[8]

${\displaystyle \xi ={\frac {r}{R(t)}},\quad V(\xi )={\frac {5tv}{2r}},\quad G(\xi )={\frac {\rho }{\rho _{0}}},\quad Z(\xi )={\frac {25t^{2}c^{2}}{4r^{2}}}}$.

Les conditions derrière le choc ${\displaystyle \xi =1}$ deviennent

${\displaystyle V(1)={\frac {2}{\gamma +1}},\quad G(1)={\frac {\gamma +1}{\gamma -1}},\quad Z(1)={\frac {2\gamma (\gamma -1)}{(\gamma +1)^{2}}}}$

La résolution des équations d'Euler est assez longue^[6]. On peut la simplifier à partir de la conservation de l'énergie. La relation entre ${\displaystyle Z}$ et ${\displaystyle V}$ peut être déduite directement de la conservation de l'énergie. La solution étant auto-semblable l'énergie à l'intérieur de la sphère de rayon ${\displaystyle \xi <1}$ quelconque, grossissant à la vitesse ${\displaystyle 2r/5t}$, est constante. L'énergie qui quitte la sphère de rayon ${\displaystyle r}$ dans l'intervalle ${\displaystyle dt}$ du fait de la vitesse de gaz ${\displaystyle v}$ est  ${\displaystyle 4\pi r^{2}\rho v(h+v^{2}/2)\mathrm {d} t}$ où  ${\displaystyle h=c^{2}/(\gamma -1)}$ est l'enthalpie volumique du gaz. Dans cet intervalle de temps le rayon croît avec la vitesse ${\displaystyle v_{n}}$ pour arriver à une énergie  ${\displaystyle 4\pi r^{2}\rho v_{n}(e+v^{2}/2)\mathrm {d} t}$ où  ${\displaystyle e=c^{2}/\gamma (\gamma -1)}$ est l'énergie interne par unité de volume. D'où

${\displaystyle Z={\frac {\gamma (\gamma -1)(1-V)V^{2}}{2(\gamma V-1)}}}$

Les équations de continuité et de conservation de l'énergie deviennent

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} \ln \xi }}-(1-V){\frac {\mathrm {d} \ln G}{\mathrm {d} \ln \xi }}&=-3V\\{\frac {\mathrm {d} \ln Z}{\mathrm {d} \ln \xi }}-(\gamma -1){\frac {\mathrm {d} \ln G}{\mathrm {d} \ln \xi }}&=-{\frac {5-2V}{1-V}}\end{aligned}}}$

En exprimant ${\displaystyle \mathrm {d} V/\mathrm {d} \ln \xi }$ et ${\displaystyle \mathrm {d} \ln G/\mathrm {d} V}$ comme fonctions de ${\displaystyle V}$ seulement et en intégrant on obtient

${\displaystyle {\begin{aligned}\xi ^{5}&=\left[{\frac {1}{2}}(\gamma +1)V\right]^{-2}\left\{{\frac {\gamma +1}{7-\gamma }}[5-(3\gamma -1)V]\right\}^{\nu _{1}}\left[{\frac {\gamma +1}{\gamma -1}}(\gamma V-1)\right]^{\nu _{2}},\\G&={\frac {\gamma +1}{\gamma -1}}\left[{\frac {\gamma +1}{\gamma -1}}(\gamma V-1)\right]^{\nu _{3}}\left\{{\frac {\gamma +1}{7-\gamma }}[5-(3\gamma -1)V\right\}^{\nu _{4}}\left[{\frac {\gamma +1}{\gamma -1}}(1-V)\right]^{\nu _{5}}\end{aligned}}}$

où

${\displaystyle \nu _{1}=-{\frac {13\gamma ^{2}-7\gamma +12}{(3\gamma -1)(2\gamma +1)}},\quad \nu _{2}={\frac {5(\gamma -1)}{2\gamma +1}},\quad \nu _{3}={\frac {3}{2\gamma +1}},\quad \nu _{4}=-{\frac {\nu _{1}}{2-\gamma }},\quad \nu _{5}=-{\frac {2}{2-\gamma }}}$

La constante ${\displaystyle \beta }$ qui exprime la position du choc peut être déduite de la conservation de l'énergie

${\displaystyle E=\int _{0}^{R}\rho [v^{2}/2+c^{2}/\gamma (\gamma -1)]4\pi r^{2}\mathrm {d} r}$

On obtient

${\displaystyle \beta ^{5}{\frac {16\pi }{25}}\int _{0}^{1}G[V^{2}/2+Z/\gamma (\gamma -1)]\xi ^{4}\mathrm {d} \xi =1}$

On peut alors revenir aux variables physiques

${\displaystyle \rho /\rho _{1}=G(\gamma -1)/(\gamma +1)\,,\quad \quad v/v_{1}=\xi V(\gamma +1)/2\,,\quad \quad p/p_{1}=\xi ^{2}GZ(\gamma +1)/(2\gamma )}$

et en déduire la température ${\displaystyle T}$

${\displaystyle T/T_{1}=\xi ^{2}Z(\gamma +1)^{2}/[2\gamma (\gamma -1)]}$

L'analyse de la solution permet de connaître le comportement asymptotique pour lequel la masse volumique décroît rapidement derrière le choc et la pression vers une valeur limite ${\displaystyle p_{c}\approx 0.37\,p_{1}}$ (voir figure)

${\displaystyle {\frac {\rho }{\rho _{1}}}\sim \xi ^{3/(\gamma -1)},\quad {\frac {p}{p_{1}}}\rightarrow p_{c},\quad {\frac {T}{T_{1}}}\sim \xi ^{-3/(\gamma -1)}\quad {\text{lorsque}}\quad \xi \rightarrow 0}$

On rappelle que ${\displaystyle \rho _{1}}$ dépend du temps comme ${\displaystyle p_{1}\sim t^{-6/5}}$. Dans les variables physiques

${\displaystyle \rho \sim r^{3/(\gamma -1)}t^{-6/5(\gamma -1)},\quad p\rightarrow p_{c}t^{-6/5},\quad T\sim r^{-3/(\gamma -1)}t^{(6/5)(2-\gamma )/(\gamma -1)}\quad {\text{lorsque}}\quad r\rightarrow 0.}$

La vitesse varie linéairement dans la partie centrale.

${\displaystyle {\frac {v}{v_{1}}}\sim \xi \quad {\text{lorsque}}\quad \xi \rightarrow 0}$

et son comportement asymptotique est donné par

${\displaystyle v\sim rt^{1/5}\quad {\text{lorsque}}\quad r\rightarrow 0}$

L'analyse ci-dessus n'est plus valide lorsque  ${\displaystyle p_{1}\to p_{0}}$, phase dans laquelle se forme une partie en dépression en aval du choc. Dans ce cas on ne peut plus définir un seul nombre adimensionnel caractéristique et l'auto-similarité n'est plus vérifiée. Il existe une méthode pour aller plus loin dans les méthodes analytiques^[9] mais de nos jours on fait plutôt appel au calcul numérique^{[10],[11],[12]}

Des calculs numériques ont permis d'établir une loi valable pour toute géométrie (plane, cylindrique, sphérique)^[13] :

${\displaystyle t={\frac {1}{q}}\left({\frac {E}{B\rho _{0}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}R^{q}}$

où B est un coefficient dépendant de la géométrie :

${\displaystyle \gamma }$	sphérique ${\displaystyle q={\frac {5}{2}}}$	cylindrique ${\displaystyle q={\frac {4}{2}}}$	plan ${\displaystyle q={\frac {3}{2}}}$
7/5	5.33	3.94	1.22
5/3	3.08	2.26	0.678

Le problème de la ligne explosive a été résolu par Leonid Sedov, A. Sakurai^[9] et S. C. Lin^[14]. Le nombre adimensionnel pertinent est ici

${\displaystyle r\left({\frac {\rho _{0}}{Et^{2}}}\right)^{\frac {1}{4}}}$

D'où le rayon de propagation :

${\displaystyle R(t)=\beta \left({\frac {E}{\rho _{0}}}\right)^{\frac {1}{4}}t^{\frac {1}{^{2}}}}$

Pour  ${\displaystyle \gamma ={\frac {7}{5}}}$  l'approximation numérique décrite ci-dessus donne  ${\displaystyle \beta =\left({\frac {4}{B}}\right)^{\frac {1}{4}}\approx 1.00}$ 

La vitesse de propagation s'écrit :

${\displaystyle V_{\infty }={\frac {\beta }{2}}\left({\frac {E}{\rho _{0}}}\right)^{\frac {1}{4}}t^{-{\frac {1}{^{2}}}}={\frac {Rt}{2}}}$

On peut en déduire le saut de pression en utilisant une approximation des relations de Rankine-Hugoniot :

${\displaystyle p-p_{0}=\rho _{0}V_{\infty }^{2}\left(1-{\frac {\rho }{\rho _{0}}}\right)\approx {\frac {2}{\gamma +1}}\rho _{0}V_{\infty }^{2}={\frac {\beta ^{4}}{2(\gamma +1)}}ER^{-2}\approx 0.212ER^{-2}}$

La surpression est proportionnelle à l'énergie et décroît avec le carré de la distance à la source.

• (en) G. B. Whitham, Linear and Nonlinear Waves, John Wiley & Sons, 1974 (ISBN 978-0-4713-5942-5, lire en ligne)
• (en) L. D. Landau et E. M. Lifschitz, Fluid Mechanics, Pergamon Press, 1982 (ISBN 0-08-033933-6, lire en ligne)

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Taylor–von Neumann–Sedov blast wave » (voir la liste des auteurs).

• Modèle de détonation de Zeldovich-von Neumann-Döring

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