Goethe fait ses débuts internationaux en karting en 2019, où il participe aux Championnats d'Europe et aux Championnats du Monde dans la catégorie OK, qu'il ne réussit pas à terminer[2]. Le Danois participe ensuite à la WSK Super Master Series et à la WSK Champions Cup en 2020.
Formule 4 espagnole
En 2019, Oliver Goethe fait ses débuts en monoplace lors de la manche finale du Championnat d'Espagne de Formule 4 avec l'écurie Drivex School[3]. Du fait de son statut de pilote invité, il n'inscrit aucun point. Il signe en 2020 pour sa première saison complète avec l'écurie MP Motorsport[4], alors qu'il n'a que 15 ans. Il monte sur ses premiers podiums lors de la première manche puis remporte sa première victoire sur le circuit Paul-Ricard. Il termine cinquième du championnat avec 137 points.
Pour la saison 2022, Goethe rejoint l'Euroformula Open, dans l'écurie allemande Motopark[7]. Lors de la première manche à Estoril, le Danois se qualifie en pôle pour la première course, mais perd plusieurs places au départ après une erreur de pilotage, bien qu'il se rattrape pour terminer troisième. Il prend un autre mauvais départ dans la deuxième course, mais se bat pour la victoire malgré une pénalité de cinq secondes[8]. Poursuivant sa saison de la même manière, il se qualifie de nouveau en pole pour les deux courses en marge du Grand Prix de Pau, remportant la première course, mais perd ensuite la victoire de la course du dimanche contre Vladislav Lomko et son coéquipier Christian Mansell[9].
Il remporte deux des trois courses courses disputées sur le Castellet, et termine juste derrière Mansell dans la course 2[10]. Goethe poursuit sa série de victoires, remportant la victoire sur les trois courses de la manche de Spa, malgré un départ de la sixième place lors des deux dernières courses[11],[12]. Lors de la dernière manche avant la pause estivale, Goethe remporte à nouveau la course d'ouverture et termine son week-end avec un autre podium dans la course 3. Après la première moitié de la saison, il se fait nettement remarquer en menant le championnat avec une grande avance sur son plus proche poursuivant[13].
Au retour de la trêve estivale, il enchaine avec deux autres victoires à Imola et au Red Bull Ring, avant de réaliser une manche difficile à Monza,[14] où il part en tête-à-queue dans la première course, puis connaît un problème de frein avant la course 2, l'empêche de partir de la pôle position[14],[15]. Malgré cette manche sans podiums, il conserve une large avance au championnat. Il décroche le titre lors de la dernière manche à Barcelone en remportant la première course, terminant la saison avec onze victoires et un total de 18 podiums[16].
Lors de la manche autrichienne, Hunter Yeany se casse le poignet. Campos Racing fait appel à Goethe pour le remplacer lors de la manche hongroise sur le Hungaroring[17]. Lors des qualifications, il bat ses coéquipiers David Vidales et Pepe Martí, réalisant le douzième temps, ce qui lui permet ainsi de démarrer la course sprint depuis la pole position[18]. Il perd la première place au départ, mais reste dans le top dix tout au long de la course, terminant huitième, profitant d'une collision au dernier tour entre Arthur Leclerc et Jak Crawford, et marque trois points pour sa première course[19]. Pour la manche de Spa-Francorchamps, il remplace toujours Yeany et bat de nouveau ses coéquipiers lors des qualifications, s'assurant la quatrième quatrième place sur la grillede départ[20],[21]. Lors de la course sprint, Goethe entre en collision avec Zane Maloney, mais les deux pilotes s'en sortent sans blessures[22]. Lors de la course principale, Goethe parvient à se battre pour le podium, se retrouvant même en temporairement en tête de la course. Il termine finalement quatrième, après avoir été dépassé par Oliver Bearman dans le dernier tour[23],[24]. Après cette pige, il retourne à sa saison principale en l'Euroformula Open pour les deux dernières manches de la saison, et est à son tour remplacé par Sebastián Montoya[25]. Il se classe dix-neuvième du championnat avec 15 points[26].
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