En mathématiques , et plus précisément en analyse fonctionnelle et harmonique , le noyau de Fejér est une suite de fonctions réelles 2π -périodiques permettant d'exprimer l'effet d'une somme de Cesàro sur une série de Fourier . Il tient son nom du mathématicien hongrois Lipót Fejér [ 1]
Tracé des noyaux de Fejér à différents ordres. Le noyau de Fejér est la suite (Fn )n ∈ℕ* de fonctions analytiques dont le terme de rang n , appelé noyau de Fejér d'ordre n , est la moyenne arithmétique des n premiers noyaux de Dirichlet :
∀ ∀ -->
x
∈ ∈ -->
R
F
n
(
x
)
=
1
n
∑ ∑ -->
k
=
0
n
− − -->
1
D
k
(
x
)
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}D_{k}(x)}
Calcul
En développant la définition ci-dessus, les deux expressions classiques du noyau de Dirichlet donnent respectivement :
F
n
(
x
)
=
1
n
(
sin
-->
n
x
2
sin
-->
x
2
)
2
{\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\left({\frac {\sin {\frac {nx}{2}}}{\sin {\frac {x}{2}}}}\right)^{2}}
x
∉ ∉ -->
2
π π -->
Z
{\displaystyle x\notin 2\pi \mathbb {Z} }
Fn (x ) = n x 2π ) ;
F
n
(
x
)
=
∑ ∑ -->
k
=
− − -->
n
n
(
1
− − -->
|
k
|
n
)
e
i
k
x
{\displaystyle F_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}\left(1-{\frac {|k|}{n}}\right)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kx}}
Convolution
On obtient la somme de Fejér d'ordre n d'une fonction f (intégrable sur [–π, π] et 2π -périodique) en effectuant un produit de convolution de f par le noyau de Dirichlet.
Le noyau de Fejér est un noyau de sommabilité positif
R
/
2
π π -->
Z
{\displaystyle \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }
∀ ∀ -->
n
∈ ∈ -->
N
∗ ∗ -->
F
n
≥ ≥ -->
0
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad F_{n}\geq 0}
∀ ∀ -->
n
∈ ∈ -->
N
∗ ∗ -->
1
2
π π -->
∫ ∫ -->
− − -->
π π -->
π π -->
F
n
(
x
)
d
x
=
1
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }F_{n}(x)\,\mathrm {d} x=1}
∀ ∀ -->
ε ε -->
>
0
lim
n
→ → -->
∞ ∞ -->
∫ ∫ -->
π π -->
≥ ≥ -->
|
x
|
>
ε ε -->
|
F
n
(
x
)
|
d
x
=
0
{\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \lim _{n\to \infty }\int _{\pi \geq |x|>\varepsilon }|F_{n}(x)|\,\mathrm {d} x=0}
La suite (Fn ) est donc une approximation de l'unité de l'algèbre de Banach
L
1
(
R
/
2
π π -->
Z
)
{\displaystyle \mathrm {L} ^{1}(\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} )}
Le noyau de Fejér est lié au noyau de Dirichlet par les relations suivantes[ 2]
∀ ∀ -->
n
∈ ∈ -->
N
∗ ∗ -->
,
D
n
(
x
)
=
(
n
+
1
)
F
n
+
1
(
x
)
− − -->
n
F
n
(
x
)
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*},\ D_{n}(x)=(n+1)F_{n+1}(x)-nF_{n}(x)}
∀ ∀ -->
n
∈ ∈ -->
N
,
F
n
+
1
(
x
)
=
1
n
+
1
∑ ∑ -->
k
=
0
n
D
k
(
x
)
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\ F_{n+1}(x)={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}D_{k}(x)}
↑ (de) Leopold Fejér, « Untersuchungen über Fouriersche Reihen », Mathematische Annalen 1904 (lire en ligne ) ↑ (en) Josée Lopez-Bonilla, Sergio Vidal Beltran et Jesus Yalja Montiel, « A Note on Dirichlet and Fejér kernels », Revista de Matemática: Teoría y Aplicaciones vol. 14, no 1, 26 mars 2007 , p. 101–104 (ISSN 1409-2433 lire en ligne ) 
