En logique, la non-implication réciproque^[1] est un connecteur logique qui est la négation de la réciproque de l'implication.

${\displaystyle _{p\not \subset q}\!}$, qui est la même que ${\displaystyle _{\sim (p\subset q)}\!}$

La table de vérité de ${\displaystyle _{p\not \subset q}\!}$^[2].

p	q	${\displaystyle _{\not \subset }\!}$
V	V	F
V	F	F
F	V	V
F	F	F

Le diagramme de Venn de « Il n'est pas vrai que B implique A » (la zone rouge est vraie).

Toujours en rapport avec le complémentaire, où le complémentaire de A dans B est notée B ∖ A.

Préservation du faux: L'interprétation sous laquelle toutes les variables sont affectées de la valeur de vérité «faux» produit une valeur de vérité de «faux» à la suite de l'application de la non-implication réciproque.

Les alternatives de  ${\displaystyle _{p\not \subset q}\!}$ sont

• ${\displaystyle _{p{\tilde {\leftarrow }}q}\!}$: ${\displaystyle _{\tilde {\leftarrow }}\!}$ combine la flèche gauche de l'implication réciproque (${\displaystyle _{\leftarrow }\!}$) avec le tilde de la négation (${\displaystyle _{\sim }\!}$).
• ${\displaystyle _{Mpq}\!}$: utilise la lettre majuscule M préfixé.
• ${\displaystyle _{p\nleftarrow q}\!}$: ${\displaystyle _{\nleftarrow }\!}$ combine la flèche gauche de l'implication réciproque (${\displaystyle _{\leftarrow }\!}$) nié au moyen d'une barre (${\displaystyle _{/}\!}$).

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« non A mais B »

La non-implication réciproque dans une algèbre booléenne générale est définie comme ${\displaystyle _{q\nleftarrow p=q'p}\!}$.

Exemple d'une algèbre booléenne à 2 éléments: les 2 éléments {0,1}, les opérateurs ${\displaystyle _{\sim }\!}$ comme opérateur complémentaire, ${\displaystyle _{_{\vee }}\!}$ comme opérateur de jointure et ${\displaystyle _{_{\wedge }}\!}$ en tant qu'opérateur de rencontre, construisent l'algèbre de Boole de la logique propositionnelle.

${\displaystyle _{\sim x}\!}$ ${\displaystyle _{1}\!}$ ${\displaystyle _{0}\!}$ ${\displaystyle _{x}\!}$ ${\displaystyle _{0}\!}$ ${\displaystyle _{1}\!}$	et	${\displaystyle _{y}\!}$ ${\displaystyle _{1}\!}$ ${\displaystyle _{1}\!}$ ${\displaystyle _{1}\!}$ ${\displaystyle _{0}\!}$ ${\displaystyle _{0}\!}$ ${\displaystyle _{1}\!}$ ${\displaystyle _{y_{\vee }x}\!}$ ${\displaystyle _{0}\!}$ ${\displaystyle _{1}\!}$ ${\displaystyle _{x}\!}$	et	${\displaystyle _{y}\!}$ ${\displaystyle _{1}\!}$ ${\displaystyle _{0}\!}$ ${\displaystyle _{1}\!}$ ${\displaystyle _{0}\!}$ ${\displaystyle _{0}\!}$ ${\displaystyle _{0}\!}$ ${\displaystyle _{y_{\wedge }x}\!}$ ${\displaystyle _{0}\!}$ ${\displaystyle _{1}\!}$ ${\displaystyle _{x}\!}$	alors ${\displaystyle _{y\nleftarrow x}\!}$ signifie	${\displaystyle _{y}\!}$ ${\displaystyle _{1}\!}$ ${\displaystyle _{0}\!}$ ${\displaystyle _{0}\!}$ ${\displaystyle _{0}\!}$ ${\displaystyle _{0}\!}$ ${\displaystyle _{1}\!}$ ${\displaystyle _{y\nleftarrow x}\!}$ ${\displaystyle _{0}\!}$ ${\displaystyle _{1}\!}$ ${\displaystyle _{x}\!}$
(Négation)	(Ou Inclusif)	(Et)	(Non-implication réciproque)

Exemple d'une algèbre booléenne à 4 éléments: les 4 diviseurs {1,2,3,6} de 6 avec 1 nul et 6 en tant qu'élément d'unité, les opérateurs ${\displaystyle _{^{c}}\!}$ (co-diviseur de 6) comme opérateur complémentaire, ${\displaystyle _{_{\vee }}\!}$ ${\displaystyle _{_{\wedge }}\!}$ (plus grand diviseur commun) construisent une algèbre de Boole.

${\displaystyle _{x^{c}}\!}$ ${\displaystyle _{6}\!}$ ${\displaystyle _{3}\!}$ ${\displaystyle _{2}\!}$ ${\displaystyle _{1}\!}$ ${\displaystyle _{x}\!}$ ${\displaystyle _{1}\!}$ ${\displaystyle _{2}\!}$ ${\displaystyle _{3}\!}$ ${\displaystyle _{6}\!}$	et	${\displaystyle _{y}\!}$ ${\displaystyle _{6}\!}$ ${\displaystyle _{6}\!}$ ${\displaystyle _{6}\!}$ ${\displaystyle _{6}\!}$ ${\displaystyle _{6}\!}$ ${\displaystyle _{3}\!}$ ${\displaystyle _{3}\!}$ ${\displaystyle _{6}\!}$ ${\displaystyle _{3}\!}$ ${\displaystyle _{6}\!}$ ${\displaystyle _{2}\!}$ ${\displaystyle _{2}\!}$ ${\displaystyle _{2}\!}$ ${\displaystyle _{6}\!}$ ${\displaystyle _{6}\!}$ ${\displaystyle _{1}\!}$ ${\displaystyle _{1}\!}$ ${\displaystyle _{2}\!}$ ${\displaystyle _{3}\!}$ ${\displaystyle _{6}\!}$ ${\displaystyle _{y_{\vee }x}\!}$ ${\displaystyle _{1}\!}$ ${\displaystyle _{2}\!}$ ${\displaystyle _{3}\!}$ ${\displaystyle _{6}\!}$ ${\displaystyle _{x}\!}$	et	${\displaystyle _{y}\!}$ ${\displaystyle _{6}\!}$ ${\displaystyle _{1}\!}$ ${\displaystyle _{2}\!}$ ${\displaystyle _{3}\!}$ ${\displaystyle _{6}\!}$ ${\displaystyle _{3}\!}$ ${\displaystyle _{1}\!}$ ${\displaystyle _{1}\!}$ ${\displaystyle _{3}\!}$ ${\displaystyle _{3}\!}$ ${\displaystyle _{2}\!}$ ${\displaystyle _{1}\!}$ ${\displaystyle _{2}\!}$ ${\displaystyle _{1}\!}$ ${\displaystyle _{2}\!}$ ${\displaystyle _{1}\!}$ ${\displaystyle _{1}\!}$ ${\displaystyle _{1}\!}$ ${\displaystyle _{1}\!}$ ${\displaystyle _{1}\!}$ ${\displaystyle _{y_{\wedge }x}\!}$ ${\displaystyle _{1}\!}$ ${\displaystyle _{2}\!}$ ${\displaystyle _{3}\!}$ ${\displaystyle _{6}\!}$ ${\displaystyle _{x}\!}$	alors ${\displaystyle _{y\nleftarrow x}\!}$ signifie	${\displaystyle _{y}\!}$ ${\displaystyle _{6}\!}$ ${\displaystyle _{1}\!}$ ${\displaystyle _{1}\!}$ ${\displaystyle _{1}\!}$ ${\displaystyle _{1}\!}$ ${\displaystyle _{3}\!}$ ${\displaystyle _{1}\!}$ ${\displaystyle _{2}\!}$ ${\displaystyle _{1}\!}$ ${\displaystyle _{2}\!}$ ${\displaystyle _{2}\!}$ ${\displaystyle _{1}\!}$ ${\displaystyle _{1}\!}$ ${\displaystyle _{3}\!}$ ${\displaystyle _{3}\!}$ ${\displaystyle _{1}\!}$ ${\displaystyle _{1}\!}$ ${\displaystyle _{2}\!}$ ${\displaystyle _{3}\!}$ ${\displaystyle _{6}\!}$ ${\displaystyle _{y\nleftarrow x}\!}$ ${\displaystyle _{1}\!}$ ${\displaystyle _{2}\!}$ ${\displaystyle _{3}\!}$ ${\displaystyle _{6}\!}$ ${\displaystyle _{x}\!}$
(Co-diviseur de 6)	(Plus Petit Diviseur Commun)	(Plus Grand Diviseur Commun)	(Plus grand diviseur x premier avec y)

Informatique

Un exemple pour de non-implication réciproque en informatique peut être trouvé lors d'une jointure externe droite sur un ensemble de tables d'une base de données, si les enregistrements ne correspondant pas au-condition de jointure de la table « gauche » sont exclus^[3].

Notes

1. ↑ Lehtonen, Eero, and Poikonen, J.H.
2. ↑ Knuth 2011, p. 49
3. ↑ Jeff Atwood, « A Visual Explanation of SQL Joins », sur codinghorror.com, 11 octobre 2007 (consulté le 16 septembre 2020).

Références

• (en) Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, Volume 4A: Combinatorial Algorithms, Part 1, Addison-Wesley Professional, 2011 (ISBN 0-201-03804-8)

v · m Connecteurs logiques
Tautologie ${\displaystyle \top }$
NON-ET ${\displaystyle \uparrow }$ Implication réciproque ${\displaystyle \leftarrow }$ Implication ${\displaystyle \rightarrow }$ OU ${\displaystyle \lor }$
Négation ${\displaystyle \neg }$ XOR ${\displaystyle \oplus }$ Équivalence ${\displaystyle \leftrightarrow }$
NON-OU ${\displaystyle \downarrow }$ Non-implication ${\displaystyle \nrightarrow }$ Non-implication réciproque ${\displaystyle \nleftarrow }$ ET ${\displaystyle \land }$
Contradiction ${\displaystyle \bot }$

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