En mathématiques, un élément x d'un anneau unitaire (ou même d'un pseudo-anneau) est dit nilpotent s'il existe un entier naturel n non nul tel que xn = 0.
Exemples
Cette définition peut être appliquée en particulier aux matrices carrées. La matrice
est nilpotente parce que A3 = 0. On parle alors de matrice nilpotente et d'endomorphisme nilpotent.
Dans l'anneau ℤ/9ℤ, la classe de 3 est nilpotente parce que 32 est congru à 0 modulo 9.
L'anneau des coquaternions contient un cône de nilpotents.
Propriétés
Aucun élément nilpotent n'est inversible (sauf dans l'anneau nul). Tous les éléments nilpotents non nuls sont des diviseurs de zéro.
Une matrice carrée A d'ordre n à coefficients dans un corps commutatif est nilpotente si et seulement si son polynôme caractéristique est Xn, ce qui est le cas si et seulement si An = 0.
Les éléments nilpotents d'un anneau commutatif forment un idéal, qui est le nilradical de l'anneau.
Si x est nilpotent, alors 1 – x est inversible ; en effet, xn = 0 entraîne :
(1 – x)(1 + x + x2 + … + xn – 1) = 1 – xn = 1, et de même (1 + x + x2 + … + xn – 1)(1 – x) = 1 – xn = 1.
Ainsi 1 – x est inversible, d'inverse 1 + x + x2 + … + xn – 1.
Anneau réduit
Un anneau sans élément nilpotent autre que 0 est dit réduit ; cette notion est importante en géométrie algébrique. L'anneau quotient d'un anneau commutatif par son nilradical est un anneau réduit.
En physique
Un opérateur Q qui satisfait à Q2 = 0 est nilpotent. La charge BRST (en) est un exemple important en physique.
Voir aussi
