Les mathématiques tropicales, ou géométrie tropicale, sont une branche des mathématiques correspondant à l'étude d'un système modifié grâce à la redéfinition de l'addition et de la multiplication (et conséquemment d'autres opérations). Deux algèbres tropicales ont été définies : l'algèbre min-plus, définie avec le minimum pour addition et l'addition pour multiplication^[1], et l'algèbre max-plus, définie avec le maximum pour addition et l'addition pour multiplication^[2].

En géométrie tropicale, les graphes des polynômes sont des maillages linéaires par morceaux, et l'ensemble des nombres possède une structure de semi-anneau. La géométrie tropicale permet de prouver et généraliser des résultats de la géométrie algébrique, comme le théorème de Brill–Noether^[3].

Les fondements de analyse tropicale ont été développées indépendamment par des mathématiciens travaillant dans divers domaines, en utilisant la même notation^[4]. Victor Maslov (en) a introduit en 1987 une version tropicale du processus d'intégration. Il a également remarqué que la transformation de Legendre et les solutions de l'équation de Hamilton–Jacobi sont des opérations linéaires dans le sens tropical^[5]. Cependant il a fallu attendre la fin des années 1990 pour voir une formalisation plus complète de la théorie. Cela a été notamment motivé par son application à la géométrie énumérative, avec par exemple des travaux de Maxim Kontsevich^[6] et de Grigory Mikhalkin.

Les mathématiques tropicales sont dénommées ainsi en l'honneur de leur inventeur brésilien, Imre Simon. L'emploi de l'adjectif tropical est attribué par Jean-Éric Pin à Dominique Perrin^[7], alors que Imre Simon lui-même l'attribue à Christian Choffrut^[8],[9]. Le terme tropical n'a pas d'autre sens que de faire référence au Brésil.

On peut définir deux algèbres tropicales sur l'ensemble des nombres réels, l'algèbre min-plus et l'algèbre max-plus. Ces deux algèbres possèdent une structure de demi-corps commutatif et sont isomorphes entre elles par l'isomorphisme ${\displaystyle x\mapsto -x}$ . Le choix de l'algèbre de «référence» dépend des auteurs et des domaines.

On donne ici les définitions pour l'algèbre max-plus.

• On définit l'addition tropicale ${\displaystyle \oplus }$ par :

  ${\displaystyle a\oplus b=\max(a,b)}$. Pour l'algèbre min-plus, le maximum est remplacé par le minimum.

Le résultat de l'addition tropicale de deux nombres est donc le maximum de ceux-ci. Ainsi, ${\displaystyle 2\oplus 3=\max(2,3)=3}$.

• On définit la multiplication tropicale (ou produit tropical) ${\displaystyle \odot }$ (ou ${\displaystyle \otimes }$) par :

  ${\displaystyle a\odot b=a+b}$.

Le résultat de la multiplication tropicale de deux nombres est donc la somme usuelle de ceux-ci. Ainsi, ${\displaystyle 2\odot 3=2+3=5}$.

L'addition tropicale est, comme l'addition usuelle, commutative et associative. Il n'y a pas d'élément neutre dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Par contre, si on travaille dans ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{-\infty \}}$, l'élément neutre est alors ${\displaystyle -\infty }$ ; en effet, ${\displaystyle a\oplus (-\infty )=\max(a,-\infty )=a}$. Il n'y a pas d'élément opposé à un élément donné : pour que ${\displaystyle a\oplus x=\max(a,x)=(-\infty )}$, il faut que ${\displaystyle a=x=(-\infty )}$.

La multiplication tropicale est, comme la multiplication usuelle, commutative et associative. Elle est distributive par rapport à l'addition tropicale ${\displaystyle \oplus }$. Le nombre 0 est l'élément neutre pour la multiplication tropicale.

Pour disposer d'un élément absorbant, on travaille dans ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$. L'élément absorbant est alors ${\displaystyle +\infty }$. En effet, ${\displaystyle a\odot (+\infty )=a+(+\infty )=+\infty }$. Tout élément possède un inverse pour la multiplication tropicale puisque en effet ${\displaystyle a\odot (-a)=0}$.

Il manque à la structure ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\oplus ,\odot )}$ l'élément neutre pour la première loi et l'existence d'élément symétrique pour la première loi pour que la structure soit un corps. On parle alors du demi-corps ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\oplus ,\odot )}$.

La puissance tropicale, notée ${\displaystyle a^{\odot n}}$, avec a un réel et n un entier naturel, correspond à la multiplication usuelle. En effet,

${\displaystyle a^{\odot n}=\overbrace {a\odot \cdots \odot a} ^{n{\text{ fois}}}=\overbrace {a+\cdots +a} ^{n{\text{ fois}}}=n\times a}$.

Ainsi, le polynôme tropical en 2 variables

${\displaystyle a\odot x\oplus b\odot y\oplus c}$

s'écrit, avec les notations plus usuelles,

${\displaystyle \max(a+x,b+y,c)}$

On se place dans le demi-corps min-plus. Un polynôme tropical est une fonction ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ qui peut s'exprimer comme une somme tropicale d'un nombre fini de termes monomiaux. Chaque monôme est un produit tropical d'une constante et de variables prises dans un ensemble ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$. Ainsi, un polynôme tropical est F est le minimum d'une famille finie de transformations linéaires affines dans lesquelles les variables ont des coefficients linéaires ; c'est une fonction concave, continue, et linéaire par morceaux^[10] :

${\displaystyle {\begin{aligned}F(X_{1},\ldots ,X_{n})&=\left(C_{1}\otimes X_{1}^{\otimes a_{11}}\otimes \cdots \otimes X_{n}^{\otimes a_{n1}}\right)\oplus \cdots \oplus \left(C_{s}\otimes X_{1}^{\otimes a_{1s}}\otimes \cdots \otimes X_{n}^{\otimes a_{ns}}\right)\\&=\min\{C_{1}+a_{11}X_{1}+\cdots +a_{n1}X_{n},\;\ldots ,\;C_{s}+a_{1s}X_{1}+\cdots +a_{ns}X_{n}\}.\end{aligned}}}$

L'ensemble des points où un polynôme tropical F est non différentiable est appelé son hypersurface tropicale et noté ${\displaystyle \mathrm {V} (F)}$ (en analogie avec les variétés algébriques. De manière équivalente, ${\displaystyle \mathrm {V} (F)}$ est l'ensemble des points où le minimum des termes de F est atteint par au moins 2 termes.

Pour une variété algébrique X sur un tore algébrique ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{\times })^{n}}$, on définit la tropicalisation de X, notée ${\displaystyle \operatorname {Trop} (X)}$. C'est un un sous-ensemble de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ qui peut être défini de plusieurs manières. L'équivalence entre ces définitions constitue le Théorème fondamental de la géométrie tropicale^[11].

On ajoute à R l'élément ${\displaystyle +\infty }$ et on munit l'ensemble de la structure min-plus ; on peut utiliser la structure ainsi définie pour le calcul de plus courte distance dans un graphe.

On représente un graphe pondéré à n sommets par la matrice ${\displaystyle A=(a_{i,j})}$ qui donne les distances entre chaque sommet: si le sommet i est lié avec le sommet j alors l'élément ${\displaystyle a_{i,j}}$ est égal au poids de l'arête (i,j), si les sommets i et j ne sont pas reliés alors ${\displaystyle a_{i,j}}$ correspond à l'infini (on a ${\displaystyle a_{i,i}=0}$).

Ainsi la distance entre i et j en passant par au plus un sommet est :

${\displaystyle \min _{k\in \{1,\cdots ,n\}}(a_{i,k}+a_{k,j})=\bigoplus _{k\in \{1,\cdots ,n\}}a_{i,k}\odot a_{k,j}}$

Ceci correspond au produit matriciel dans la structure min-plus. Ainsi pour calculer la longueur d'un plus court chemin d'un sommet à un autre, on a au plus n étapes, dans le graphe, il suffit de calculer la puissance n de A pour cette structure.

• Ilia Itenberg, « Droites tropicales », Images des mathématiques, CNRS,‎ 2011 (lire en ligne)
• (en) Diane Maclagan et Bernd Sturmfels, Introduction to Tropical Geometry, Providence (R. I.), American Mathematical Society, coll. « Graduate Studies in Mathematics » (n^o 161), avril 2015, 363 p. (ISBN 978-0-8218-5198-2, lire en ligne)
• Ilia Itenberg, Grigory Mikhalkin et Eugenii Shustin, Tropical algebraic geometry, Bâle, Birkhäuser, coll. « Oberwolfach Seminars » (n^o 35), 2009 (ISBN 978-3-0346-0047-7, OCLC 310400815)
• Dima Grigoriev, « Tropical differential equations », Advances in Applied Mathematics, vol. 82,‎ javier 2017, p. 120–128 (DOI 10.1016/j.aam.2016.08.002, arXiv 1502.08010.pdf)
• Dima Grigoriev, « Tropical recurrent sequences », Advances in Applied Mathematics, vol. 116,‎ 2020, article n^o 102012 (DOI 10.1016/j.aam.2020.102012, arXiv 1807.10714)
• Antoine Chambert-Loir, « Quand la géométrie devient tropicale », Pour la science, n^o 492,‎ octobre 2018, p. 26-33
• (de) Hannah Markwig, « Tropische Geometrie », dans Katrin Wendland, Annette Werner (éd.), Facettenreiche Mathematik, Wiesbaden, Vieweg+Teubner Verlag, 2011 (ISBN 978-3-8348-1414-2)

• Imre Simon
• Demi-anneau
• Amibe (mathématiques)

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