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Sa carrière professionnelle commence au RK Medveščak Zagreb[1]. Il joue pour la première fois au niveau international dans la Coupe des Coupes (C2) en 2004/05, une coupe au niveau européen qui rassemble de nombreuses grandes équipes. En 2005/06, il participe à la Coupe Challenge (C4). En 2006/07, il participe de nouveau à la Coupe des Coupes et marque au total 3 buts.
En 2007, il rejoint le grand club croate du RK Zagreb. De la saison 2007/08 à la saison 2011/12, il participe à la Ligue des Champions. Lors des différentes éditions, Zagreb est éliminé au poules en 2007/08, va jusqu'en quart en 2008/09, est éliminé en 16e de finale lors des saisons 2009/10 et 2010/11 et va jusqu'en 1/4 de finale en 2011/12. Au cours de ces compétitions, Marko Kopljar marque respectivement 2, 2, 16, 35 et 67 buts[1]. Au cours de ces 5 saisons au RK Zagreb, il réalise 5 doublés coupe-championnat de Croatie.
Le , son club, le Paris Saint-Germain Handball, est officiellement champion de France après sa victoire face à Cesson (27-32). À l'issue de la saison, il est élu meilleur arrière droit du Championnat de France[3]. La saison suivante est plutôt décevante pour Kopljar et le PSG qui doivent attendre son dernier match de l'année pour remporter un trophée, la Coupe de France et sauver sa saison[4].
Marko Kopljar sous le maillot croate lors d'un match contre l'Autriche (no 8 à l'arrière-plan).
Marko Kopljar est sélectionné avec l'équipe de Croatie pour la première fois en 2008. Il est vice champion du Monde en 2009, la Croatie est battue en finale par la France (19-24). Marko Kopljar est également vice champion d'Europe en 2010, la Croatie est une nouvelle fois battue par la France en finale, cette fois sur le score de 21 à 25.
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