Né à Viborg au Danemark, Magnus Jensen est formé par le club local du Viborg FF mais n'y fait aucune apparition en professionnel. Il est laissé libre par le club à l'été 2016[1]. Il rejoint alors le Skive IK. C'est avec ce club qu'il joue son premier match en professionnel, le , lors d'un match de deuxième division danoise contre le HB Køge. Il entre en jeu et les deux équipes se neutralisent (0-0 score final)[2].
En , Magnus Jensen décide de rejoindre l'AC Horsens, il signe un contrat de quatre ans[3]. Son objectif est de découvrir la première définition, bien qu'il soit dans un premier temps destiné à un rôle de remplaçant de Alexander Ludwig et Malte Kiilerich(en)[4].
Il joue son premier match en Superligaen, le 24 février 2020, contre l'AGF Aarhus. Il entre en jeu à la place de Peter Therkildsen et son équipe s'incline par deux buts à un[5].
Le 30 mars 2022, Magnus Jensen prolonge son contrat avec l'AC Horsens jusqu'en décembre 2025[6].
Le 13 juillet 2023, Magnus Jensen rejoint le Lyngby BK. Il signe un contrat courant jusqu'en juin 2026[7].