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Luis Concha Córdoba étudie à Bogota, à Paris (où son père est ambassadeur de la Colombie) et à Rome. Après son ordination, il fait du travail pastoral à Bogota et y est professeur au séminaire, au "Gimnasio Moderno" et au "Colegio Nuestra Señora del Rosario". Il est chanoine du chapitre de la cathédrale de Bogota et secrétaire de la curie archidiocèsaine, chancelier archidiocesain et vicaire général substitut de Bogotá en 1934-1935.