Liam Wright commence sa carrière en 2015 avec le club des Easts Tigers, qui dispute le Queensland Premier Rugby (championnat amateur de la région du Queensland)[5]. À partir de 2015 également, il joue avec les équipes jeunes de la province du Queensland[5].
En 2016, il est retenu dans l'effectif de Queensland Country pour disputer le NRC[1]. Avec cette équipe, il remporte le championnat national en 2017 avant d'être finaliste la saison suivante[1].
Après de bonnes performances à l'échelon inférieur, il signe un contrat de deux saisons avec la franchise de Super Rugby des Queensland Reds en 2018[6]. Après une première saison où il se partage le temps de jeu avec le très expérimenté George Smith, il s'impose à partir de 2019 saison comme le titulaire indiscutable au poste de troisième ligne aile côté ouvert (n°7), avant de prolonger son contrat pour deux saisons supplémentaires[4],[7].
En 2020, il est nommé capitaine des Reds pour la saison à venir[8]. Dès sa première saison en charge, il est finaliste du Super Rugby AU, après une défaite en finale face aux Brumbies[9]. L'année suivante, à l'issue d'une finale identique, son équipe s'impose et remporte la compétition[10].
En octobre 2017, alors qu'il n'a pas encore disputé de match de Super Rugby, il est sélectionné en tant que « apprenti » avec les Wallabies par le sélectionneur Michael Cheika, afin de participer aux entraînements et apprendre les exigences du haut niveau[12].
