Né à Hamar en Norvège, Kristian Eriksen est formé par le club local du Hamarkameratene, où il commence sa carrière professionnelle. Il joue son premier match le 13 avril 2014, lors d'une rencontre de deuxième division norvégienne face au Nest-Sotra Fotball(en). Il entre en jeu et son équipe s'incline par trois buts à un[1].
Le , Eriksen fait son retour au Hamarkameratene. Il signe un contrat courant jusqu'à la fin de l'année[3].
Le il prolonge son contrat avec le HamKam, étant alors lié au club jusqu'en décembre 2023[4].
Il participe à la montée du club en première division, HamKam étant officiellement champion de deuxième division après sa victoire face à Stjørdals-Blink(en) où Kristian Eriksen se distingue en marquant l'unique but de la rencontre[5],[6].
Alors qu'il est également courtisé par le FK Bodø/Glimt[8], Kristian Eriksen rejoint le Molde FK le . Il signe un contrat courant jusqu'en décembre 2026[9].
Eriksen marque son premier but pour Molde le 7 août 2022, lors d'une rencontre de championnat face au Kristiansund BK. Titulaire, il participe à la victoire de son équipe par trois buts à deux[10].