En 1992, alors encore avec les Falcons de BGSU il rejoint les rangs de l'équipe nationale junior des États-Unis dans le cadre du championnat du monde junior de hockey sur glace où il prend part à 8 rencontres. L'année suivante, il termine son aventure universitaire par un rappel avec l'équipe nationale, mais cette fois ci avec l'équipe majeure pour qui il joue deux rencontres.
Klee fait ses débuts dans la LNH en 1994-1995 jouant 23 rencontres avec Washington et 49 avec Portland. Dès la saison suivante, il décroche un poste à plein temps dans la LNH et ne retourne plus dans les rangs inférieurs. Il est appelé par les États-Unis à participer au Championnat du monde de hockey sur glace en 1997 où l'équipe terminera en 6e position. Au printemps de 1998, il prend part pour la seule fois de sa carrière à la finale de la Coupe Stanley, mais il n'aura pas la chance de soulever le précieux trophée.
À la fin de la saison 2002-2003, il met un terme à son association avec les Capitals ; après 11 saisons passées dans la capitale nationale, il signe un contrat avec les Maple Leafs de Toronto avec qui il obtient sa meilleure production de points en carrière avec 29. Il participe à la Coupe du monde de hockey en 2004, prenant part à 4 rencontres.
Au début de la saison 2008-2009, les Thrashers l'envoient, ainsi que Chad Painchaud et Brad Larsen, aux Ducks d'Anaheim en retour de Mathieu Schneider. Klee ne fera que passer avec les Ducks ; soumis au ballotage quelques jours plus tard, il se voit réclamé par les Coyotes de Phoenix. Au terme de cette saison, il se retire de la compétition.
