1 Compétitions officielles nationales et internationales senior, incluant le parcours amateur et en équipe réserve. 2 Matchs officiels. Dernière mise à jour :
Prêté à Huddersfield Town lors de la saison 2016-2017, Palmer participe à vingt-six rencontres toutes compétitions confondues (cinq buts) avant de réintégrer l'effectif des Blues en . Le , il est prêté pour une seconde saison consécutive à Huddersfield Town. Après seulement cinq matchs disputés avec les Terriers en l'espace de six mois, Palmer retourne plus tôt que prévu à Chelsea en [1].
Le , il est prêté pour six mois à Derby County[2]. Il inscrit deux buts en seize matchs toutes compétitions confondues avant de retrouver Chelsea à l'issue de la saison.
Le , Palmer est de nouveau prêté, cette fois aux Blackburn Rovers pour une durée d'une saison[3]. Buteur à trois reprises en dix-sept matchs avec les Rovers lors de la première partie de saison 2018-2019, Palmer est cédé en prêt pour six mois à Bristol City le [4]. Il inscrit deux buts en dix-sept matchs avec Bristol, avec qui il s'engage définitivement le [5].